Pembahasan Soal Lingkaran SBMPTN 2018 Berikut ini akan membahas soal SBMPTN 2018 TKD Saintek tentang lingkaran, semoga bermanfaat. 1. $$ SBMPTN Kode 453 $$ Jika panjang jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By-10=0$ adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+20=0$, panjang jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah ... A. $\sqrt{10}$ B. $2\sqrt{10}$ C. $3\sqrt{10}$ D. $4\sqrt{10}$ E. $5\sqrt{10}$ Jaawab B Pembahasan INGAT jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ adalah $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$ $r_1=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}+10}$ $r_2=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-20}$ karena $r_1$ dua kali $r_2$ maka diperoleh $r_1=2r_2$ $\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}+10}=2\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-20}$ $\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}+10=4\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-20$ $\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}+10=A^{2}+B^{2}-80$ $\frac{3}{4}A^{2}+\frac{3}{4}B^{2}=90$ $\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}=30$ diperoleh $r_1=\sqrt{30+10}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ $r_2=\sqrt{30-20}=\sqrt{10}$ Jadi jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah $2\sqrt{10}.$2. $$ SBMPTN Kode 454 $$ Jika panjang jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+2Ay+C=0$ dan $x^{2}+y^{2}+Ax+3Ay+C=0$ berturut-turut adalah $2$ dan $\sqrt{10}$, maka nilai $C$ adalah ... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawab B Pembahasan $\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}2A^{2}-C}=2$ $\frac{1}{4}A^{2}+A^{2}-C=4$ $A^{2}+4A^{2}-4C=16$ $5A^{2}-4C=16$.......... $i$ $\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}3A^{2}-C}=\sqrt{10}$ $\frac{1}{4}A^{2}+\frac{9}{4}A^{2}-C=10$ $\frac{5}{2}A^{2}-C=10$ $5A^{2}-2C=20$.......... $ii$ dari $i$ dan $ii$ dieliminasi diperoleh $C=2.$ 3. $$ SBMPTN Kode 455 $$ Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-ax-ay-a=0$ mempunyai jari-jari $a$, maka nilai $a$ adalah ... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawab B Pembahasan $r=\sqrt{\frac{1}{4}-a^{2}+\frac{1}{4}-a^{2}+a}$ $a=\sqrt{\frac{1}{4}-a^{2}+\frac{1}{4}-a^{2}+a}$ $a^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+a$ $\frac{1}{2}a^{2}=a$ $a=2. $
SoalNo.3 (SBMPTN 2018) Diketahui dua lingkaran x 2 + y 2 = 2 dan x 2 + y 2 = 4. Garis l1 menyinggung lingkaran pertama di titik (1,-1). Garis l2 menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dan l2 adalah. (1+, - 1) (1-, - 1) (1+, +1) (1-, - 2) (1+, + 2) PEMBAHASAN : Lingkaran I L 1 ≡ x 2 + y 2 = 2
Uploaded byLaurentinus Fernando 100% found this document useful 1 vote544 views5 pagesCopyright© © All Rights ReservedShare this documentDid you find this document useful?Is this content inappropriate?Report this Document100% found this document useful 1 vote544 views5 pagesLingkaran SBMPTN-UTBKUploaded byLaurentinus Fernando Full descriptionJump to Page You are on page 1of 5Search inside document You're Reading a Free Preview Page 4 is not shown in this preview. Buy the Full Version Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
Untukmenggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada soal sudah diberitahu bahwa pusat $P(3,1)$. Lingkaran menyinggung garis $3x+4y+7=0$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(3,1)$ ke garis $3x+4y+7=0$.
belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA tentang Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, lingkaran sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan lalu dihubungkan dengan jari-jari pada roda sepeda. Penerapan lingkaran dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, yang paling sederhana seperti yang kita sebutkan di awal yaitu ban sepeda yang berbentuk lingkaran. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada lingkaran tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal lingkaran dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari. Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi menyelesaikan soal tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman kita tentang lingkaran. Bahan latihan soal lingkaran yang kita pilih adalah soal dari soal UTBK SBMPTN Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri, Soal Ujian Mandiri masuk PTN SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan sebagainya, Soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan atau Soal UN Ujian Nasional SMA. Sebagai catatan, berikut kita tuliskan beberapa aturan dasar pada Lingkaran yang mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah tentang lingkaran. PERSAMAAN LINGKARANPusat $0,0$ dengan jari-jari $r$ $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ Pusat $a,b$ dengan jari-jari $r$ $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ $\Leftrightarrow $ Pusat $\left -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right $ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$ Hubungan Titik $Ap,q$ Pada lingkaran $Lx^{2}+y^{2}=r^{2}$Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$; Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$; Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$; Hubungan Titik $Ap,q$ Pada lingkaran $Lx-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$Jika nilai $K=p-a^{2}+q-b^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$; Jika nilai $K=p-a^{2}+q-b^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$; Jika nilai $K=p-a^{2}+q-b^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$; Hubungan Titik $Ap,q$ Pada lingkaran $Lx^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$; Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$; Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$; Hubungan garis dengan lingkaranMisal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $Lx^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$ Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran; Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran; Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran; Persamaan Garis Singgung PGS LingkaranJika diketahui titik singgung $x_{1},y_{1}$ pada lingkaran Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $\Leftrightarrow $ PGS $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ $\Leftrightarrow $ PGS $x-ax_{1}-a+y-by_{1}-b=r^{2}$ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ $\Leftrightarrow $ PGS $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+x_{1}+\frac{1}{2}By+y_{1}+C=0$ Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $m$ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $\Leftrightarrow $ PGS $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ $\Leftrightarrow $ PGS $y-b=mx-a\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ Jarak Titik ke TitikJarak titik $\left x_{1},y_{1} \right$ ke titik $\left x_{2},y_{2} \right$ adalah $d= \sqrt{ \leftx_{2}-x_{1} \right^{2}+\lefty_{2}-y_{1} \right^{2}} $ Jarak Titik ke GarisJarak titik $\left x_{1},y_{1} \right$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d=\left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right$ Rumus Alternatif Persamaan Garis Singgung PGS lingkaranPersamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left x_{1},y_{1} \right$ dan jari-jari $r$ yang sejajar dengan garis $ax+by+c=0$, adalah $ax+by=ax_{1}+by_{1} \pm r \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left x_{1},y_{1} \right$ dan jari-jari $r$ yang tegak lurus dengan garis $ax+by+c=0$, adalah $bx-ay=bx_{1}-ay_{1} \pm r \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ Untuk melatih kemampuan kita dalam bermatematik, terkhusus dalam materi pokok lingkaran, soal-soal berikut dapat kita jadikan bahan latihan. 1. Soal UMPTN 1994 *Soal LengkapJari-jari dan titik pusat lingkaran $4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1=0$ adalah... $\begin{align} A\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left -\dfrac{1}{2},1 \right \\ B\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right \\ C\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right \\ D\ & 3\ \text{dan}\ \left 1,3 \right \\ E\ & 3\ \text{dan}\ \left -1,3 \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} 4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1 &= 0 \\ x^{2}+ y^{2}+ x-3y+\dfrac{1}{4} &= 0 \\ \hline A=1,\ B=-3,\ & C= \dfrac{1}{4} \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left -\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right \\ &= \left -\dfrac{1}{2}1,-\dfrac{1}{2}-3 \right \\ &= \left -\dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{2} \right \\ \hline r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\dfrac{1}{4}1^{2}+\dfrac{1}{4}-3^{2}-\dfrac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} -\dfrac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right$2. Soal SPMB 2005 Kode 280 *Soal LengkapJika $a \lt 0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1=0$ mempunyai jari-jari $2$ maka koordinat pusat lingkaran adalah... $\begin{align} A\ & \left -\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right \\ B\ & \left -\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right \\ C\ & \left 1,-2 \right \\ D\ & \left -1, 2 \right \\ E\ & \left -1,-2 \right \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\ A=-a,\ B=2a,\ & C= 1 \end{align}$ $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ r^{2} &= \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \\ 2^{2} &= \dfrac{1}{4}-a^{2}+\dfrac{1}{4}2a^{2}-1 \\ 4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} + a^{2} - 1 \\ 4+1 &= \dfrac{5}{4}a^{2} \\ 5 \cdot \dfrac{4}{5} &= a^{2} \\ 4 &= a^{2} \rightarrow a=\pm 2 \end{align}$ Karena $a \lt 0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-2$, sehingga berlaku $\begin{align} x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\ x^{2}+y^{2}+2x-4y+1 &= 0 \\ A=2,\ B=-4,\ & C= 1 \\ \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ & = \left -\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right \\ & = \left -\dfrac{1}{2}2,-\dfrac{1}{2}-4 \right \\ & = \left -1 , 2 \right \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \left -1, 2 \right $3. Soal UN Matematika IPA 2006 *Soal LengkapPersamaan lingkaran dengan pusat $P3,1$ dan menyinggung garis $3x+4y+7=0$ adalah... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y+9=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}+6x-2y-9=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0 \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada soal sudah diberitahu bahwa pusat $P3,1$. Lingkaran menyinggung garis $3x+4y+7=0$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P3,1$ ke garis $3x+4y+7=0$. $\begin{align} r = d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{33+41+7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{20}{\sqrt{25}} \right = 4 \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $P3,1$ dan $r=4$ $\begin{align} x-a^{2}+y-b^{2} &= r^{2} \\ x-3^{2}+y-1^{2} &= 4^{2} \\ x^{2}+y^{2}-6x-2y+9+1 &= 16 \\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6 &= 0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0$4. Soal SPMB 2003 *Soal LengkapDiketahui lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $-2,1$. Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y-90=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y+9=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y+90=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}-2x-6y-90=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $-2,1$ sehingga berlaku $\begin{align} 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\ 2-2^{2}+21^{2}-4-2+31p-30 &= 0 \\ 8+2+8+3p-30 &= 0 \\ 3p &= 12 \\ p &= 4 \end{align}$ Untuk $p=4$, maka persamaan lingkaran menjadi $\begin{align} 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\ 2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30 &= 0 \\ x^{2}+ y^{2}-2x+6y-15 &= 0 \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left -\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right \\ &= \left-\dfrac{1}{2}-2,-\dfrac{1}{2}6 \right \\ &= \left 1, -3 \right \\ \hline r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\dfrac{1}{4}-2^{2}+\dfrac{1}{4}6^{2}-15} \\ &=\sqrt{1+9+15} = 5 \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan $P\left 1, -3 \right$ dan $r=25=10$ adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x-1 \right^{2}+\left y+3 \right^{2} &= 10^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+6y+1+9 &= 100 \\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90 &= 0 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0$5. Soal UMPTN 1992 *Soal LengkapJika titik $-5,k$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, nilai $k$ adalah... $\begin{align} A\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ B\ & 2\ \text{atau}\ 4 \\ C\ & -1\ \text{atau}\ 6 \\ D\ & 0\ \text{atau}\ 3 \\ E\ & 1\ \text{atau}\ -6 \end{align}$ Alternatif PembahasanTitik $-5,k$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, sehingga berlaku $\begin{align} x^{2}+y^{2}+2x-5y-21 &= 0 \\ -5^{2}+k^{2}+2-5-5k-21 &= 0 \\ 25+k^{2}-10-5k-21 &= 0 \\ k^{2}-5k-6 &= 0 \\ k-6k+1 &= 0 \\ k=6\ \text{atau}\ k=-1 & \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -1\ \text{atau}\ 6$6. Soal UMPTN 2005 Kode 780 *Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$, maka nilai $c$ adalah... $\begin{align} A\ & -7 \\ B\ & -6 \\ C\ & 0 \\ D\ & 6 \\ E\ & 12 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ titik pusatnya adalah $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left -\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right \\ &= \left-\dfrac{1}{2}6,-\dfrac{1}{2}6 \right \\ &= \left -3, -3 \right \end{align}$ Lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P-3,-3$ ke garis $x=2$ yaitu $5$. Jika belum bisa mendapatkan $r=5$ dengan membayangkan posisi lingkaran dengan garis dapat menghitung jarak $P-3,-3$ ke garis $x-2=0$ yaitu $\begin{align} r = d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{1-3+0-3-2}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{-5}{\sqrt{1}} \right = 5 \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $P-3,-3$ dan $r=5$ $\begin{align} x-a^{2}+y-b^{2} &= r^{2} \\ x+3^{2}+y+3^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+9+9 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y-7 &= 0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -7$7. Soal SPMB 2006 Kode 420 *Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ yang berpusat di $1,-1$ dan menyinggung garis $y=x$, maka nilai $a+b+c$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ titik pusatnya $1,-1$, sehingga berlaku $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left -\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right \\ \left1,-1 \right &= \left-\dfrac{1}{2}a,-\dfrac{1}{2}b \right \\ a &= -2 \\ b &= 2 \end{align}$ Untuk $a=-2$ dan $b=2$ maka persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$. Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P1,-1$ ke garis $x-y=0$, yaitu $\begin{align} r = d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{11+-1-1+0}{\sqrt{1^{2}+-1^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right = \sqrt{2} \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $P1,-1$ dan $r=\sqrt{2}$ $\begin{align} x-a^{2}+y-b^{2} &= r^{2} \\ x-1^{2}+y+1^{2} &= \left \sqrt{2} \right^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1+1 &= 2 \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y &= 0 \end{align}$ Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $c=0$, sehingga $a+b+c=-2+2+0=0$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 0$8. Soal UMPTN 1994 *Soal LengkapLingkaran yang melalui titik-titik $4,2,\ 1,3$ dan $-3,-5$ berjari-jari... $\begin{align} A\ & 8 \\ B\ & 7 \\ C\ & 6 \\ D\ & 5 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk membentuk persamaan lingkaran dari tiga titik yang dilalui lingkaran adalah dengan mensubstitusi nilai $x,y$ ke persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$. Setelah dapat tiga persamaan dengan dua variabel, lalu dilakukan substitusi atau eliminasi. $\begin{align} 4,2\ & \rightarrow 4^{2}+2^{2}+A4+B2+C= 0 \\ & \rightarrow 4A +2B +C= -20\ \cdots \\ 1,3\ & \rightarrow 1^{2}+3^{2}+A1+B3+C= 0 \\ & \rightarrow A +3B +C= -10\ \cdots\ \\ -3,-5\ & \rightarrow -3^{2}+-5^{2}+A-3+B-5+C= 0 \\ & \rightarrow -3A -5B +C= -34\ \cdots\ \end{align}$ Pertama, kita pilih mengeliminasi $C$ dari $ dan $ $\begin{array}{cccc} 4A +2B +C= -20 & \\ A +3B +C= -10 & - \\ \hline 3A-B = -10\ \cdots\ & \end{array} $ Kedua, kita mengeliminasi $C$ dari $ dan $ $\begin{array}{cccc} A +3B +C= -10 & \\ -3A -5B +C= -34 & - \\ \hline 4A+8B = 24\ & \\ A+2B = 6\ \cdots\ & \end{array} $ Ketiga, kita mengeliminasi $A$ atau $B$ dari $ dan $ $\begin{array}{cccc} 3A-B = -10 & \times 2 \\ A+2B = 6 & \times 1 \\ \hline 6A-2B = -20 & \\ A+2B = 6 & + \\ \hline 7A = -14 & A = -2 & \end{array} $ Keempat, kita substitusi $A=-2$ ke $ atau $ $\begin{align} A+2B = 6\ & \rightarrow -2+2B = 6 \\ & \rightarrow 2B = 8 \\ & \rightarrow B = 4 \end{align}$ Kelima, kita substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke $ $ atau $ $\begin{align} 4A +2B +C= -20\ & \rightarrow 4-2 +24 +C= -20 \\ & \rightarrow -8 + 8 +C= -20 \\ & \rightarrow C = -20 \end{align}$ Untuk $A=-2$, $B=4$ dan $C=-20$, kita sudah dapat menentukan persamaan lingkran atau jari-jari lingkaran. $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\frac{1}{4}-2^{2}+\frac{1}{4}4^{2}-20} \\ &=\sqrt{1+4+20}=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 5$9. Soal UMPTN 2001 Rayon C *Soal Lengkap]Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah... $\begin{align} A\ & 4 \\ B\ & 5 \\ C\ & 4\sqrt{2} \\ D\ & 2\sqrt{5} \\ E\ & 4\sqrt{3} \end{align}$ Alternatif PembahasanTitik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$. $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\ 2y+5^{2}+y^{2}-42y+5+8y+10 & = 0 \\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\ 5y^{2}+20y+15 & = 0 \\ y^{2}+4y+3 & = 0 \\ y+3y+1 & = 0 \end{align}$ $y=-1\ \text{maka}\ x= 2-1+5=3$ $y=-3\ \text{maka}\ x= 2-3+5=-1$ Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A3,-1$ dan $B-1,-3$, panjang ruas garis $AB$ adalah $\begin{align} d & = \sqrt{-3+1^{2}+-1-3^{2}} \\ & = \sqrt{4+16} \\ & = 2\sqrt{5} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2\sqrt{5}$ 10. Soal UMPTN 1999 Rayon C *Soal LengkapJika garis $gx-2y=5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah... $\begin{align} A\ & 2\sqrt{10} \\ B\ & 4\sqrt{2} \\ C\ & 6 \\ D\ & 5 \\ E\ & 10 \end{align}$ Alternatif Pembahasankita ketahui bahwa jika garis $y=mx+n$ dan lingkaran $Lx^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ berpotongan maka titik potong dapat diperoleh dari akar persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran. Pertama, kita substitusi $x-2y=5$ ke $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 &= 0 \\ 5+2y^{2}+y^{2}-45+2y+8y+10 &= 0 \\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-20-8y+8y+10 &= 0 \\ 5y^{2}+20y+15 &= 0 \\ y^{2}+4y+3 &= 0 \\ y+1y+3 &= 0 \\ y=-1\ \text{atau}\ y=-3 & \end{align}$ Untuk $y=-1$ kita peroleh $x=5+2y=5+2-1=3$, titik potong $3,-1$ Untuk $y=-3$ kita peroleh $x=5+2y=5+2-3=-1$, titik potong $-1,-3$ Jika kita gambarkan, titik potong garis dengan lingkaran dan segitiga yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini Dari gambar di atas dapat kita hitung luas segitiga adalah luas setengah persegi dimana panjang sisi persegi adalah $\begin{align} d &= \sqrt{ \leftx_{2}-x_{1} \right^{2}+\lefty_{2}-y_{1} \right^{2}} \\ &= \sqrt{ \left3-0 \right^{2}+\left-1-0 \right^{2}} \\ &= \sqrt{ 9+1} = \sqrt{10} \end{align}$ Luas segitiga adalah $\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 5$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 5$ 11. Soal SPMB 2005 Kode 580 *Soal LengkapLingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan melalui titik $4,6$. Persamaan lingkaran $L$ adalah... $\begin{align} A\ & x-4^{2}+y+6^{2}=144 \\ B\ & x-3^{2}+y-4^{2}=5 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}-24x+44=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}-8x+6y+56=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanJika kita gambarkan, ilustrasi apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini Lingkaran yang akan kita kita tentukan misalkan lingkaran dengan pusat $a,b$ dan jari-jari $r$ yaitu $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$. Lingkaran menyinggung sumbu-$x$ sehingga dengan pusat $a,b$, dapat kita tentukan bahwa $r=b$. Pada segitiga $PQR$ dapat kita terapkan teorema phytagoras, $ \begin{align} OP^{2} & = OQ^{2}+PQ^{2} \\ r+2^{2} & = a^{2}+r^{2} \\ r^{2}+4r+4 & = a^{2}+r^{2} \\ 4r+4 & = a^{2} \end{align} $ Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ melalui titik $4,6$ sehingga berlaku $ \begin{align} x-a^{2}+y-b^{2} &= r^{2} \\ 4-a^{2}+6-b^{2} &= r^{2} \\ a^{2}-8a+16+b^{2}-12b+36 &= r^{2} \\ \hline 4r+4 = a^{2}\ \text{dan}\ b=r \\ \hline 4r+4-8a+16+r^{2}-12r+36 &= r^{2} \\ -8a+56 &= 8r \\ -a+7 &= r \end{align} $ Untuk $r=-a+7$ dan $4r+4 = a^{2}$ kita peroleh $\begin{align} 4r+4 &= a^{2} \\ 4-a+7+4 &= a^{2} \\ -4a+28+4 &= a^{2} \\ a^{2}+4a-32 &= 0 \\ a+8a-4 &= 0 \\ a=-8\ \text{atau}\ a=4 & \end{align}$ Dengan $a=4$, maka $b=r=-a+7=3$, sehingga persamaan lingkaran adalah $ \begin{align} x-a^{2}+y-b^{2} &= r^{2} \\ x-4^{2}+y-3^{2} &= 3^{2} \\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16+9 &= 9 \\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16 &= 0 \end{align} $$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 $ 12. Soal UM-UGM 2004 Kode 111 *Soal LengkapDiketahui sebuah lingkaran $Lx^{2}+y^{2}+2y-24=0$. Jika melalui titik $P1,6$ dibuat garis singgung pada $L$ maka jarak dari $P$ ke titik singgung tadi adalah... $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} x^{2}+y^{2}+2y-24=0 &= 0 \\ A=0,\ B=2,\ C= -24 & \end{align}$ $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ r^{2} &= \frac{1}{4}0^{2}+\frac{1}{4}2^{2}-24 \\ r^{2} &= 1+24 \\ r &= \sqrt{25}=5 \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ & = \left -\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right \\ & = \left -\dfrac{1}{2}0,-\dfrac{1}{2}2 \right \\ & = \left 0 , -1 \right \\ \end{align}$ Jarak titik pusat $O \left 0 , -1 \right $ ke $P\left 1 , 6 \right $ adalah $\begin{align} OP & = \sqrt{\left 0-1 \right ^{2}+\left -1-6 \right ^{2}} \\ & = \sqrt{1+49} \\ & = \sqrt{50} \\ \end{align}$ Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari, sehingga berlaku teorema phytagoras antara titik pusat, titik singgung dan titik $P$. Jarak titik singgung ke titik $P\left 1 , 6 \right $ adalah $\begin{align} d & = \sqrt{OP^{2}-r^{2}} \\ & = \sqrt{50-5^{2}} \\ & = \sqrt{25}=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 13. Soal SPMB 2006 Kode 621 *Soal LengkapLingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$, $p \gt 0$ dan yang berjari-jari $2$ akan menyinggung garis $x-y=0$ bila $p$ sama dengan... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 2\sqrt{2} \\ C\ & 4 \\ D\ & 4\sqrt{2} \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanJari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ adalah $2$, sehingga berlaku $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 &=\sqrt{\frac{1}{4}-2p^{2}+\frac{1}{4}0^{2}-q} \\ 2 &=\sqrt{p^{2}-q} \\ 4 &= p^{2}-q \end{align}$ Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol; $\begin{align} x^{2}+x^{2}-2px+q &= 0 \\ 2x^{2}-2px+q &= 0 \\ \hline D=b^{2}-4ac &= 0 \\ -2p^{2}-42q &= 0 \\ 4p^{2}-8q &= 0 \\ p^{2}-2q &= 0 \\ p^{2}-q-q &= 0 \\ 4-q &= 0 \\ q &=4 \end{align}$ Untuk $q=4$ maka kita peroleh nilai $p$ $\begin{align} 4 &= p^{2}-q \\ 4 &= p^{2}-4 \\ 8 &= p^{2} \\ 2\sqrt{2} &= p \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 2\sqrt{2}$14. Soal SPMB 2005 Kode 480 *Soal LengkapJika garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left 2x+5 \right$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$, maka $k=\cdots$ $\begin{align} A\ & -5\sqrt{5} \\ B\ & -5 \\ C\ & \sqrt{5} \\ D\ & 5\sqrt{5} \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif PembahasanLingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$ menyinggung garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left 2x+5 \right$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol; $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x-k &= 0 \\ x^{2}+\left \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left 2x+5 \right \right^{2}-4x-k &= 0 \\ x^{2}+\dfrac{1}{5} \left 2x+5 \right^{2}-4x-k &= 0 \\ 5x^{2}+ \left 4x^{2}+20x+25 \right -20x-5k &= 0 \\ 9x^{2}+25-5k &= 0 \\ \hline D=b^{2}-4ac &= 0 \\ 0^{2}-4925-5k &= 0 \\ 0-900+180k &= 0 \\ 180k &= 900 \\ k &= \dfrac{900}{180}=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$15. Soal SPMB 2006 Kode 320 *Soal LengkapDiketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $a,7$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=a+2+bx-x^{2}$ di titik puncak, maka $b=\cdots$ $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & 1 \\ D\ & 2 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanSoal di atas adalah penggabungan materi lingkaran dan fungsi kuadrat, sehingga sedikit catatan tentang fungsi kuadrat mungkin perlu kita tampilkan yaitu Titik puncak parabola $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $\left -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \right$ Lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $a,7$ menyinggung puncak parabola $y=a+2+bx-x^{2}$, kemungkinannya hanya berada pada satu posisi, ilustrasinya seperti berikut ini Dari pusat lingkaran $a,7$ dan titik puncak parabola $\left x_{p},y_{p} \right$ dapat kita simpulan bahwa $x_{p}=a$ dan $y_{p}+3=7\ \rightarrow y_{p}=4$ $\begin{align} x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\ a &= -\dfrac{b}{2-1} \\ 2a &= b \\ \hline y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ 4 &= -\dfrac{b^{2}-4-1a+2}{4-1} \\ 16 &= b^{2}+4a+8 \\ 0 &= b^{2}+4a-8 \\ 0 &= b^{2}+2b-8 \\ 0 &= b+4b-2 \\ & b=-4\ \text{atau}\ b=2 \end{align}$ Karena $a$ bilangan bulat positif sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=2$.$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$ 16. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 *Soal LengkapDiketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1} \gt R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah... $\begin{align} A\ & 10 \pi \\ B\ & 15 \pi \\ C\ & 20 \pi \\ D\ & 25 \pi \\ E\ & 30 \pi \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah; $\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $ $=\pi \left R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right $ Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran. Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku; $\begin{align} OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\ R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\ R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\ R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25 \end{align}$ Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \leftR_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right = \pi 25= 25 \pi $$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 25 \pi$ 17. Soal SBMPTN 2016 Kode 234 *Soal LengkapTitik $0,b$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $x-8^{2}+y-8^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4\sqrt{2} \\ B\ & 3\sqrt{2} \\ C\ & 2\sqrt{2} \\ D\ & 2\sqrt{3} \\ E\ & \sqrt{3} \end{align}$ Alternatif PembahasanApa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini; $g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan. Untuk mengetahui koordinat titik $0,b$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $0,0$, $r=4$ dan gradien $m$ $y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$ $y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$ Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama. Gradien $g_{2}$ $\begin{align} m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\ m_{2} & = 1 \\ m_{1} & = 1 \\ \end{align}$ Persamaan $g_{1}$ adalah $y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$ $y=x\pm 4\sqrt{1+1}$ $y=x\pm 4\sqrt{2}$ Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 4\sqrt{2}$18. Soal SBMPTN 2015 Kode 508 *Soal LengkapMisalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,1$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & 1 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif PembahasanApa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini; Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$ $OA \cdot AC=12$ Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$, $\begin{align} r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ & = \sqrt{\frac{1}{4}-6^{2}+\frac{1}{4}-2^{2}-k} \\ & = \sqrt{10-k} \end{align}$ Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$. $\begin{align} OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\ r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\ AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\ & = 25-\left 10-k \right \\ & = 15+k \\ AC & = \sqrt{15+k} \end{align}$ $\begin{align} OA\ \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\ 10-k \cdot 15+k & = 144 \\ 150-5k-k^{2} & = 144 \\ k^{2}+5k-6 & = 144 \\ k+6k-1 & = 0 \end{align}$ Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 1$19. Soal SBMPTN 2014 Kode 572/523 *Soal LengkapPersamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $-2,-1$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah... $\begin{align} A\ & x+2y+4=0 \\ B\ & x+3y+5=0 \\ C\ & x+y+3=0 \\ D\ & 2x+y+5=0 \\ E\ & 3x+y+7=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanDua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $a,a$ , $-a,a$, $a,-a$, dan $-a,-a$. Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $-2,-1$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran III sehingga titik pusat adalah $-a,-a$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left x+a \right ^{2}+\left y+a \right ^{2}=a^{2}$. karena lingkaran melaui titik $-2,-1$ sehingga berlaku $\begin{align} \left -2+a \right ^{2}+\left -1+a \right ^{2} & = a^{2} \\ 4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\ a^{2}-6a+5 & = 0 \\ a-5a-1 & = 0 \\ a= 5\ \text{atau}\ a = 1 & \end{align}$ Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left x+a \right ^{2}+\left y+a \right ^{2} &=a^{2} \\ \left x+5 \right ^{2}+\left y+5 \right ^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+y^{2}+10x+10y+25 &=0 \end{align}$ Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left x+a \right ^{2}+\left y+a \right ^{2} &=a^{2} \\ \left x+1 \right ^{2}+\left y+1 \right ^{2} &=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1 &=0 \end{align}$ Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran. $\begin{array}{cccc} x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & - \\ \hline 8x+8y+24=0 & \\ x+ y+3=0 \end{array} $$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x+y+3=0$20. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 *Soal LengkapPersamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $2,-1$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah... $\begin{align} A\ & x+y+1=0 \\ B\ & 2x+ y-3=0 \\ C\ & x-y-3=0 \\ D\ & x-2y+4=0 \\ E\ & 3x+y+5=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanDua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $a,a$ , $-a,a$, $a,-a$, dan $-a,-a$. Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $2,-1$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $a,-a$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left x-a \right ^{2}+\left y+a \right ^{2}=a^{2}$. karena lingkaran melaui titik $2,-1$ sehingga berlaku $\begin{align} \left 2-a \right ^{2}+\left -1+a \right ^{2} & = a^{2} \\ 4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\ a^{2}-6a+5 & = 0 \\ a-5a-1 & = 0 \\ a= 5\ \text{atau}\ a = 1 & \end{align}$ Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left x-a \right ^{2}+\left y+a \right ^{2} &=a^{2} \\ \left x-5 \right ^{2}+\left y+5 \right ^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+y^{2}-10x+10y+25 &=0 \end{align}$ Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left x-a \right ^{2}+\left y+a \right ^{2} &=a^{2} \\ \left x-1 \right ^{2}+\left y+1 \right ^{2} &=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1 &=0 \end{align}$ Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran. $\begin{array}{cccc} x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 & \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1=0 & - \\ \hline -8x+8y+24=0 & \\ -x+ y+3=0 & \\ x- y-3=0 \end{array} $$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x-y-3=0$ 21. Soal SBMPTN 2014 Kode 512/514 *Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah... $\begin{align} A\ & 12 \\ B\ & 8 \\ C\ & 4 \\ D\ & 2 \\ E\ & 0 \end{align}$ Alternatif PembahasanLingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$ $\begin{align} r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 & = \sqrt{\frac{1}{4}-2a^{2}-b} \\ 4 & = a^{2}-b\ \cdots\ 1 \end{align}$ Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol. $x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$ $2x^{2}-2ax+b=0$ $\begin{align} D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ -2a^{2}-42b & = 0 \\ 4a^{2}-8b & = 0 \\ a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ 2 \\ \end{align}$ Jika persamaan $1$ dan $2$ kita eliminasi maka; $\begin{array}{cccc} a^{2}-b=4 & \\ a^{2}-2b=0 & - \\ \hline b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\ &\ a^{2}-4 =4 \\ &\ a^{2} =8 \\ a^{2}+b=12 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 12$22. Soal UN Matematika IPA 2016 *Soal Lengkap]Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $7,-5$ adalah... $\begin{align} A\ & 4x-3y=43 \\ B\ & 4x+3y=23 \\ C\ & 3x-4y=41 \\ D\ & 10x+3y=55 \\ E\ & 4x-5y=53 \end{align}$ Alternatif PembahasanPersamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left x_{1},y_{1} \right $ adalah; $xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$ Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $7,-5$ adalah $x7+y-5+\frac{1}{2}-6x+\frac{1}{2}-67+\frac{1}{2}4y+\frac{1}{2}4-5-12=0$ $7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$ $4x-3y=43$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 4x-3y=43$23. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 *Soal Lengkap]Jika pada lingkaran $Lx^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $0,1$ dan garis singgung $h$ di titik $0,3$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik... $\begin{align} A\ & 2,4 \\ B\ & 2,3 \\ C\ & 1,-1 \\ D\ & 1,1 \\ E\ & 1,2 \end{align}$ Alternatif PembahasanGaris singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $0,1$ adalah $x0 +y1+\frac{1}{2}2x+0+\frac{1}{2}-4y+1+3=0$ $y +x-2y-2+3=0$ $ x-y =-1$ Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $0,3$ adalah $x0 +y3+\frac{1}{2}2x+0+\frac{1}{2}-4y+3+3=0$ $3y +x-2y-6+3=0$ $ x+y =3$ Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah $\begin{array}{cccc} x-y=-1 & \\ x+y =3 & + \\ \hline 2x =2 & \\ x =1 & \\ y=2 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1,2$24. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 *Soal Lengkap]Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ... $\begin{align} A\ & 18\pi+18 \\ B\ & 18\pi-18 \\ C\ & 14\pi+14 \\ D\ & 14\pi-15 \\ E\ & 10\pi+10 \end{align}$ Alternatif PembahasanLuas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut; Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut; Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil. $\begin{split} L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \pi 3\sqrt{2}^{2} = \dfrac{1}{2} \pi 18\\ & = 9 \pi \end{split}$ Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$. Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga; $\begin{split} L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 6^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi \end{split}$ $\begin{split} L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\ & = 18 \\ \hline L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18 \end{split}$ Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 18\pi-18$25. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapPersamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y-15=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}+5x+10y+15=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}+5x-10y+15=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Pusat $a,b$ dengan jari-jari $r$ $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ $\Leftrightarrow $ Pusat $\left -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right $ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$ Lingkaran pada soal dideskripsikan menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $X$ positif, sehingga jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini Dari gambar di atas, dapat kita misalkan pusat lingkaran adalah $-a,a$ dan jari-jari $a$. Karena garis $2x+3y-5=0$ melalui pusat lingkaran $-a,a$ sehingga berlaku $\begin{align} 2x+3y-5 &= 0 \\ 2-a+3a-5 &= 0 \\ a &= 5 \\ \hline x-a^{2}+y-b^{2} &=r^{2} \\ x+a^{2}+y-a^{2} &=5^{2} \\ x+5^{2}+y-5^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0 \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$ 26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapSebuah lingkaran memiliki pusat $a,b$ dengan jari-jari $12$ dan menyinggung garis $3x+4y=5$. Nilai $3a+4b$ yang mungkin adalah... $\begin{align} A\ & -65\ \text{dan}\ 75 \\ B\ & -60\ \text{dan}\ 70 \\ C\ & -55\ \text{dan}\ 65 \\ D\ & -50\ \text{dan}\ 60 \\ E\ & -45\ \text{dan}\ 55 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Pusat $a,b$ dengan jari-jari $r$ $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ Jarak titik $x_{1},y_{1}$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d=\left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right$ Lingkaran dengan pusat $a,b$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-5=0$, sehingga jarak titik pusat $a,b$ ke garis $3x+4y-5=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku $\begin{align} d &=\left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ 12 &=\left \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right \\ 12 &=\left \dfrac{3a+4b-5}{5} \right \\ \hline 12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\ 60 &= 3a+4b-5 \\ 65 &= 3a+4b \\ \hline -12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\ -60 &= 3a+4b-5 \\ -55 &= 3a+4b \\ \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -55\ \text{dan}\ 65$27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui titk $P4,a$ dan lingkaran $Lx^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$. Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah... $\begin{align} A\ & 1 \lt a \lt 3 \\ B\ & -3 \lt a \lt 5 \\ C\ & -5 \lt a \lt -3 \\ D\ & 3 \lt a \lt 5 \\ E\ & -5 \lt a \lt 3 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Hubungan Titik $Ap,q$ Pada lingkaran $Lx^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$; Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$; Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$; Karena titik $P4,a$ dalam lingkaran $Lx^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku $\begin{align} 4^{2}+a^{2}-84-2a+1 & \lt 0 \\ 16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\ a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\ a+3a-5 & \lt 0 \end{align}$ Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-3 \lt a \lt 5$.$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -3 \lt a \lt 5$28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapJika garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka nilai $b^{2}-m^{2}+1=\cdots$ $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran; Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran; Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran; Karena garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka berlaku $\begin{align} x^{2}+y^{2} & = 1 \\ x^{2}+mx+b^{2} & = 1 \\ x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\ \left1+ m^{2} \right x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\ \hline b^{2}-4ac & = 0 \\ \left 2bm \right^{2}-4\leftm^{2}+1 \right\leftb^{2}-1 \right & = 0 \\ 4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\ -4\left b^{2}-m^{2}-1 \right& = 0 \\ b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\ b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\ b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\ \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$, maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{4} \\ B\ & \dfrac{1}{2} \\ C\ & \dfrac{3}{4} \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran; Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran; Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran; Karena garis $y=2-\dfrac{ax}{b}$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka berlaku $\begin{align} x^{2}+y^{2} & = 1 \\ x^{2}+\left 2-\dfrac{ax}{b} \right^{2} & = 1 \\ x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\ \left \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\ \hline D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \left \dfrac{4a}{b} \right^{2}-4\left \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right\left 3 \right & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\ 4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\ a^{2} & = 3b^{2}\\ \hline \dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\ & = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4} \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{3 }{4}$30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapSalah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ yang tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ adalah... $\begin{align} A\ & y=2x-2 \\ B\ & y=2x-6 \\ C\ & y=2x-8 \\ D\ & y=2x-10 \\ E\ & y=2x-12 \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $m$ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $\Leftrightarrow $ PGS $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ $\Leftrightarrow $ PGS $y-b=mx-a\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ Karena garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ $m=-\dfrac{1}{2}$, maka gradien garis singgung lingkaran adalah $m_{1} \cdot \left -\dfrac{1}{2} \right =-1\ \Leftrightarrow m_{1}=2$. $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\ x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\ x-2^{2}-4+y+1^{2}-1 &= 0 \\ x-2^{2} +y+1^{2} &= 5 \end{align}$ Persamaan garis singgung lingkaran dengan $m=2$ adalah $\begin{align} y-b & = mx-a\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\ y+1 & = 2x-2\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\ y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\ y & = 2 x-5 \pm 5 \\ \hline y & = 2 x-5 - 5 \\ y & = 2 x-5 + 5 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ y=2x-10$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapSebuah lingkaran memiliki pusat $a,b$ dengan $a,b \gt 3$, menyinggung garis $3x+4y=12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$, maka $3a+4b=\cdots$ $\begin{align} A\ & 24 \\ B\ & 36 \\ C\ & 48 \\ D\ & 60 \\ E\ & 72 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah Pusat $a,b$ dengan jari-jari $r$ $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x-a^{2}+y-b^{2}=r^{2}$ Jarak titik $x_{1},y_{1}$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d=\left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right$ Lingkaran dengan pusat $a,b$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-12=0$, sehingga jarak titik pusat $a,b$ ke garis $3x+4y-12=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku $\begin{align} d &=\left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ 12 &=\left \dfrac{3a+4b-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right \\ 12 &=\left \dfrac{3a+4b-12}{5} \right \\ \end{align}$ Karena $a,b \gt 3$ maka $3a+4b-12 \gt 0$, sehingga berlaku $\begin{align} 12 &= \dfrac{3a+4b-12}{5} \\ 60 &= 3a+4b-12 \\ 72 &= 3a+4b \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 72$ 32. Soal UM UGM 2014 Kode 531/532 *Soal LengkapJika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ di titik $8,-4$, maka nilai $m+k$ adalah... $\begin{align} A\ & -26 \\ B\ & -25 \\ C\ & -24 \\ D\ & -23 \\ E\ & -22 \end{align}$ Alternatif PembahasanLingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ bersinggungan dengan garis $y=mx+k$ di titik $8,-4$ maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat $5,-3$ ke garis $y=mx+k$, sehingga berlaku $\begin{align} \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} & = \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ \sqrt{\frac{1}{4}-10^{2}+\frac{1}{4}6^{2}-24} & = \left \dfrac{m5+-1-3+k}{\sqrt{m^{2}+-1^{2}}} \right \\ \sqrt{25+9-24} & = \left \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{m^{2}+1}} \right \\ \sqrt{10} & = \left \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{m^{2}+1}} \right \\ \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k \end{align}$ Garis $y=mx+k$ melalui titik $8,-4$ sehingga $-4=8m+k$ atau $k=-4-8m$, $\begin{align} \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k\\ \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3-4-8m\\ \sqrt{10m^{2}+10} & = -1-3m\\ 10m^{2}+10 & = \left -1-3m \right^{2}\\ 10m^{2}+10 & = 9m^{2}+6m+1 \\ m^{2}-6m+9 & = 0 \\ \left m-3 \right^{2} & = 0 \\ m & = 3 \end{align}$ Untuk $m=3$ kita peroleh $k=-4-8m=-4-83=-28$, sehingga nilai $m+k=3-28=-25$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -25$ 33. Soal UM UGM 2019 Kode 624 *Soal LengkapBilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari-jari $A+1$ adalah... $\begin{align} A\ & 5 \\ B\ & 4 \\ C\ & 3 \\ D\ & 2 \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}2^{2}+\frac{1}{4}-4A^{2}-40 }\\ \left A+1 \right^{2} &= \frac{1}{4}2^{2}+\frac{1}{4}-4A^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left 3A+10 \right \left A-4 \right \\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 4$ 34. Soal UM-UGM 2018 Kode 576 *Soal LengkapDiberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-$x$ di $\left 1,0 \right$ dan $\left 3,0 \right$. Jika lingkaran tersebut menyingung sumbu-$y$, maka titik singgung yang mungkin adalah... $\begin{align} A\ & \left 0,1 \right \\ B\ & \left 0,2 \right \\ C\ & \left 0,\sqrt{3} \right \\ D\ & \left 0,\sqrt{5} \right \\ E\ & \left 0,3 \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ melalui titik $\left 1,0 \right$, $\left 3,0 \right$ dan menyinggung sumby-$y$ kita misalkan di titik $\left 0,p \right$, sehingga dapat kita tuliskan Lingkaran melalui titik $ \left 1,0 \right$, kita peroleh $ 1^{2}+0^{2}+A 1+B0+C= 0$ sehingga $ A +C =-1$ Lingkaran melalui titik $ \left 3,0 \right$, kita peroleh $3^{2}+0^{2}+A3+B0+C= 0$ sehingga $3A +C =-9$ Lingkaran melalui titik $\left 0,p \right$, kita peroleh $0^{2}+p^{2}+A0+Bp+C= 0$ sehingga $ p^{2}+Bp+C=0$ Dengan proses eliminasi atau substitusi pada persamaan $ A +C =-1$, dan $3A +C =-9$ kita peroleh $\begin{array}{cccc} A+C=-1 & \\ 3A+C=-9 & - \\ \hline 2A = -8\ & \\ A = -4 & C=3 \end{array} $ Untuk $A=-4$ dan $C=3$ kita peroleh lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+By+3=0$. Lingkaran menyinggung sumbu-$y$ di $\left 0,p \right$ sehingga pusatnya adalah $\left 2,p \right$ dan $r= 2$. Jika kita gambarkan keadaan lingkarannya seperti berikut ini Dari pusat lingkaran $\left 2,p \right$ maka $-\frac{1}{2}B=p$ atau $B=-2p$, dan untuk jari-jari $r= 2$ sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} r &= \sqrt{ \dfrac{1}{4}A^{2} + \dfrac{1}{4}B^{2}- C } \\ 2 &= \sqrt{ \dfrac{1}{4}-4^{2} + \dfrac{1}{4}-2p^{2}-3 } \\ 4 &= 4 + p^{2} - 3 \\ p^{2} &= 3 \rightarrow p=\pm \sqrt{3} \end{align}$ titik potong terhadap sumbu-$y$ adalah $\left 0, \sqrt{3} \right$ dan $\left 0, -\sqrt{3} \right$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \left 0,\sqrt{3} \right$ 35. Soal UM-UGM 2018 Kode 276 *Soal LengkapDiberikan garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $\left -a,-a \right$, $a \gt 0$, dan berjari-jari $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ adalah... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5}=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{82}{5}=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}+8x+8y+\frac{72}{5}=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}+9x+9y+\frac{62}{5}=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}+9x+9y+\frac{82}{5}=0 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Lingkaran yang menyinggung garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$ memiliki jari-jari $r=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ sehingga jarak titik pusat $\left -a,-a \right$ ke garis $ y=3x$ adalah $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$. $\begin{align} d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ r &= \left \dfrac{-3-a+1-a+0}{\sqrt{-3^{2}+1^{2}}} \right \\ \dfrac{6}{\sqrt{10}} &= \left \dfrac{3a-a}{\sqrt{10}} \right \\ \dfrac{6}{\sqrt{10}} &= \left \dfrac{2a}{\sqrt{10}} \right \\ a &= \pm 3 \end{align}$ Nilai $a \gt 0$, nilai $a=3$ sehingga pusat lingkaran adalah $\left -3,-3 \right$ dan dengan $r=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x+3 \right^{2}+\left y+3 \right^{2} &= \left \frac{6}{\sqrt{10}} \right^{2} \\ x^{2}+6x+9+y^{2}+6y+9 &= \dfrac{36}{10} \\ x^{2} +y^{2}+6x +6y+18- \dfrac{36}{10}&= 0 \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5} &= 0 \end{align}$ Jika kita gambarkan keadaan lingkaran dan garisnya seperti berikut ini $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5}=0$ 36. Soal UM-UGM 2017 Kode 714 *Soal LengkapTitik pusat lingkaran $L$ terletak di kuadran I dan terletak pada garis $y=2x+1$. Jika lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $\left 0,11 \right$ maka persamaan lingkaran L adalah... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}-5x-11y=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}+5x+11y-242=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-10x-22y+121=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}-5x+11y=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}+10x+22y-363=0 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Lingkaran L yang menyinggung sumbu-$y$ di titik $\left 0,11 \right$ sehingga titik pusatnya dapat kita misalkan adalah $\left p,11 \right$ dan jari-jari $r=p$. Karena titik pusat berada di garis $y=2x+1$ maka berlaku $11=2p+1$ atau $p=5$. Dengan titik pusat lingkaran L adalah $\left 5,11 \right$ dan jari-jari $r=5$ persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x-5 \right^{2}+\left y-11 \right^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}-10x+25+y^{2}-22y+121 &= 25 \\ x^{2} +y^{2}-10x-22y+ 121 &= 0 \end{align}$ Jika kita gambarkan keadaan lingkaran dan garisnya seperti berikut ini $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x^{2}+y^{2}-10x-22y+121=0$ 37. Soal UM-UGM 2017 Kode 738 *Soal Lengkap Sebuah lingkaran dengan pusat $P \left 2,3 \right$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$, maka persamaan lingkaran ialah... $\begin{align} A\ & \left x-2 \right^{2}+\left y-3 \right^{2} = 4 \\ B\ & \left x-2 \right^{2}+\left y-7 \right^{2} = 14 \\ C\ & \left x-2 \right^{2}+\left y-3 \right^{2} = 7 \\ D\ & \left x-4 \right^{2}+\left y-3 \right^{2} = 4 \\ E\ & \left x-2 \right^{2}+\left y-2 \right^{2} = 27 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Lingkaran yang berpusat di $P \left 2,3 \right$ dan meyinggung garis garis $4x+3y -7 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left 2,3 \right$ ke garis $4x+3y -7 = 0$. $\begin{align} d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ r &= \left \dfrac{42+33+-7}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{10}{\sqrt{16+9}} \right= \left \dfrac{10}{5} \right= 2 \end{align}$ Lingkaran pusatnya $P \left 2,3 \right$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x-2 \right^{2}+\left y-3 \right^{2} &= 4 \end{align}$ Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \left x-2 \right^{2}+\left y-3 \right^{2} = 4$ 38. Soal UM-UGM 2016 Kode 582 *Soal Lengkap Diketahui $\left 1,p \right$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $\left 1,p \right$ dan menyinggung garis $px+y=4$ adalah... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}-2x-2y-1=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-2x-2y=0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}-2x+2y-2=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}-2x+2y-1=0 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Titik $\left 1,p \right$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$ sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} x^{2}+y^{2}-2y &= 0 \\ 1^{2}+p^{2}-2p &= 0 \\ p^{2}-2p+1 &= 0 \\ p^{2}-2p+1 &= 0 \\ \left p-1 \right\left p-1 \right &= 0 \\ p=1 & \end{align}$ Untuk $p=1$ kita peroleh pusat lingkaran $\left 1,1 \right$ yang menyinggung garis $x+y=4$ jari-jarinya adalah jarak titik pusat $ \left 1,1 \right$ ke garis $x+y = 4$. $\begin{align} d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ r &= \left \dfrac{11+11+-4}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{-2}{\sqrt{1+1}} \right= \dfrac{2}{\sqrt{2}} \end{align}$ Lingkaran pusatnya $\left 1,1 \right$ dan $r=\dfrac{2}{\sqrt{2}}$, maka persamaanya adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x-1 \right^{2}+\left y-1 \right^{2} &= \left \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right^{2} \\ x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1 &= 2 \\ x^{2} +y^{2}-2x -2y &= 0 \end{align}$ Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x^{2}+y^{2}-2x-2y=0$ 39. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Persamaan lingkaran lingkaran yang berpusat di titik $P\left -2,3 \right$ dan menyinggung garis $4x-3y +2 = 0$ mempunyai persamaan... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+4 =0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Lingkaran yang berpusat di $P \left -2,3 \right$ dan meyinggung garis garis $4x-3y +2 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left -2,3 \right$ ke garis $4x-3y +2 = 0$. $\begin{align} d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ r &= \left \dfrac{4-2+-33+2}{\sqrt{4^{2}+-3^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{-15}{\sqrt{16+9}} \right= \left \dfrac{-15}{5} \right= 3 \end{align}$ Lingkaran pusatnya $P \left 2,3 \right$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x+2 \right^{2}+\left y-3 \right^{2} &= 3^{2} \\ x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9 &= 9 \\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4 &= 0 \\ \end{align}$ Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ 40. Soal UM UNDIP 2018 Kode 730 *Soal Lengkap Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ dan menyinggung garis $3x+4y+9=0$ mempunyai persamaan... $\begin{align} A\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0 \\ B\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0 \\ C\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y+4 =0 \\ D\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0 \\ E\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y+12=0 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Pusat lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ adalah $\left -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right= \left 3,-2 \right$. Lingkaran dengan titik pusat $\left 3,-2 \right$ dan menyinggung garis garis $3x+4y+9=0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $\left 3,-2 \right$ ke garis $3x+4y+9=0$. $\begin{align} d &= \left \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right \\ r &= \left \dfrac{33+4-2+9}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right \\ &= \left \dfrac{10}{\sqrt{9+16}} \right= \left \dfrac{10}{5} \right= 2 \end{align}$ Lingkaran pusatnya $\left 3,-2 \right$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah $\begin{align} \left x-a \right^{2}+\left y-b \right^{2} &= r^{2} \\ \left x-3 \right^{2}+\left y+2 \right^{2} &= 2^{2} \\ x^{2}-6x+9+ y^{2}+4y+4 &= 4 \\ x^{2}+y^{2}-6x+4y+9 &= 0 \\ \end{align}$ Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0$ 41. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 *Soal Lengkap Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\lefta,b \right$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left 3,0 \right$ dan $\left 9,0 \right$. Jika garis yang melalui titik $\left 0,3 \right$ menyinggung lingkaran di titik $\left 3,0 \right$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 18 \\ C\ & 27 \\ D\ & 36 \\ E\ & 45 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini Persamaan garis yang melalui titik $A\left 0,3 \right$ dan $B\left 3,0 \right$ adalah garis $AB$ yaitu \begin{align} \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} &= \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\ \dfrac{x-0}{3-0} &= \dfrac{y-3}{0-3} \\ -3x &= 3y-9 \\ -3x &= 3y-9 \\ y &= 3-x \end{align} Garis $AB$ menyinggung lingkaran dan $BP$ merupakan jari-jari lingkaran sehingga $AB \perp BP$ dan kita peroleh \begin{align} m_{AB} \cdot m_{BP} &= -1 \\ -1 \cdot \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}&= -1 \\ \dfrac{b-0}{a-3}&= 1 \\ b &= a-3 \end{align} Jari-jari lingkaran $BP$ dan $PC$, sehingga berlaku \begin{align} \left BP \right &= \left PC \right \\ \sqrt{ \leftx_{2}-x_{1} \right^{2}+\lefty_{2}-y_{1} \right^{2}} &= \sqrt{ \leftx_{2}-x_{1} \right^{2}+\lefty_{2}-y_{1} \right^{2}} \\ \left a-3 \right^{2}+\left b-0 \right^{2} &= \left a- 9 \right^{2}+\left b- 0 \right^{2} \\ \left a-3 \right^{2} &= \left a- 9 \right^{2} \\ a^{2}-6a+9 &= a^{2}-18a+81 \\ 12a &= 72 \\ a &= 6 \rightarrow b= 3 \\ \hline a^{2}-b^{2} &= 36-9=27 \end{align} $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C\ 27$ 42. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 *Soal Lengkap Diketahui persegi dengan panjang sisi $12$ dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis $CE$ menyinggung lingkaran di titik $F$. Panjang garis $CE$ adalah... $\begin{align} A\ & 9\sqrt{2} \\ B\ & 13 \\ C\ & 15 \\ D\ & 9\sqrt{3} \\ E\ & 16 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dari informasi pada soal, jika kita misalkan $EA=x$ maka kita peroleh $ED=12-x$ dan unsur lain dapat kita gambarkan seperti berikut ini Dari gambar di atas kita peroleh bahwa $\bigtriangleup OBC$ kongruen dengan $\bigtriangleup OCF$ sehingga dengan $BC=12$ kita peroleh $CF=12$. Begitu juga dengan $\bigtriangleup AOE$ kongruen dengan $\bigtriangleup OEF$ sehingga sehingga dengan $AE=x$ kita peroleh $EF=x$ Dari segitiga siku-siku $ECD$ kita peroleh $\begin{align} EC^{2} & = ED^{2}+CD^{2} \\ \left EF+FC \right^{2} & = ED^{2}+CD^{2} \\ \left x+12 \right^{2} & = \left 12-x \right^{2}+12^{2} \\ x^{2}+24x+144 & = x^{2}-24x+144+144 \\ 24x & = -24x+144 \\ 24x+24x & = 144 \\ 48x & = 144\ \\ x & = \dfrac{144}{48}=3 \end{align}$ Untuk $x=3$ kita peroleh $EC=x+12=3+12=15$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 15$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Lingkaran di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Lingkaran silahkan disampaikan Ÿ™ CMIIWŸ˜Š. Jangan Lupa Untuk Berbagi Ÿ™ Share is Caring Ÿ€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLEŸ˜Š
Gakhanya itu saja, teman teman pun bisa bertanya bermacam soal yang sungguh-sungguh susah sekalipun disini. Nah persisnya kakak-kakak dari tim Solusi Soal akan memberikan jawaban yang akurat. Hari ini kita akan mengupas tentang permasalahan yang sering ditanyakan yakni persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran
Hi, Sobat Zenius, apa kabar nih? Di artikel ini, gue mau ngebahas rumus persamaan lingkaran kelas 11, lengkap dengan contoh soalnya. Yuk, baca artikel ini sampai selesai! Sebelum masuk ke pembahasan rumus persamaan lingkaran, gue mau elo mengingat dulu tentang jarak antara dua titik. Coba elo perhatikan gimana caranya mengetahui jarak dari titik x,y ke titik a,b seperti pada gambar di bawah ini? Konsep Persamaan Lingkaran Arsip Zenius Yap, elo bikin aja bentuk segitiga. Dari situ elo tahu alas dan tingginya berapa, kemudian elo hitung deh sisi miringnya menggunakan rumus teorema pythagoras. Masih ingat gak gimana cara ngitungnya? Berarti elo harus mencari Δx dan Δy terlebih dahulu. Caranya seperti ini Δx2=x-a2 Δy2=y-b2 Sehingga, bisa dituliskan juga rumus phytagorasnya Sampai sini udah paham konsepnya ya? Kenapa sih kok gue bahas ini dulu sebelum masuk ke pembahasan rumus persamaan lingkaran? Karena, konsep ini menjadi clue bagi elo dalam menemukan rumus persamaan lingkaran. Baca Juga Cara Menggunakan Rumus Phytagoras Definisi LingkaranRumus Persamaan LingkaranContoh Soal Persamaan Lingkaran Definisi Lingkaran Elo udah tahu nih bagaimana bentuk lingkaran. Tapi, elo tahu gak sih definisi lingkaran itu apa? “Lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada bidang datar dua dimensi dan memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik pusat.” Nah, jarak antara suatu titik dan titik pusat disebut jari-jari lingkaran. Sedangkan, garis yang terbentang dari titik ujung ke titik ujung lainnya melalui titik tengah disebut diameter. Jadi, diameter itu dua kali ukuran jari-jari lingkaran. Ada lagi nih yang namanya tali busur, yaitu garis yang terbentang dari suatu titik ke titik lainnya tanpa melalui titik tengah. Pengertian Lingkaran Arsip Zenius Gimana cara menghitung jari-jari lingkaran? Menghitung Jari-Jari Arsip Zenius Elo bisa menggunakan konsep seperti pada pythagoras sebelumnya. Jika diminta untuk mencari jari-jari lingkaran yang terbentang dari titik a,b ke titik x,y, maka dapat menggunakan teorema pythagoras. Buat dulu bentuk segitiga siku-sikunya. Kemudian, hitung menggunakan teorema pythagoras seperti ini Baca Juga Pengertian dan Penerapan Polinomial – Materi Matematika Kelas 11 Setelah elo paham dasar-dasar di atas, berarti elo udah siap untuk memahami persamaan lingkaran. Nantinya gue juga akan berikan contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya. Namun ada dua aturan yang perlu elo pahami dari suatu bentuk persamaan lingkaran, yaitu pusat 0,0 dan a,b dengan masing-masingnya berjari-jari r. Jika suatu lingkaran memiliki pusat 0,0 dengan jari-jari r, maka bentuk persamaannya x2+y2=r2. Jika suatu lingkaran memiliki pusat a,b dengan jari-jari r, maka bentuk persamaannya x-a2+y-b2=r2. Persamaan lingkaran dengan pusat 0,0 dan b persamaan lingkaran dengan pusat a,b Arsip Zenius Lalu, muncul pertanyaan, “Apa bedanya bentuk persamaan di atas dengan x2+y2+Ax+By-C=0?” Sama aja kok, Sobat Zenius. Bedanya, elo diminta untuk mengkonversi bentuk standar ke bentuk umum. Tetap gunakan rumus persamaan lingkaran yang udah dibahas sebelumnya x-a2+y-b2=r2. Kemudian, kita konversi ke dalam bentuk umum persamaan lingkaran x2+y2+Ax+By-C=0. Hasilnya akan sama kok. Oh iya, buat Sobat Zenius yang belum download aplikasi Zenius, elo bisa download apps-nya dengan klik banner di bawah ini. Pilih button yang sesuai dengan device yang elo gunakan ya! Download Aplikasi Zenius Tingkatin hasil belajar lewat kumpulan video materi dan ribuan contoh soal di Zenius. Maksimaln persiapanmu sekarang juga! Contoh Soal Persamaan Lingkaran Udah paham ya sama uraian di atas? Supaya makin paham lagi, coba elo perhatikan contoh soal persamaan lingkaran berikut ini! Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat 1,2 dan memiliki jari-jari 5. Tentukan persamaan lingkarannya! Jawab p = 1,2 → pusat lingkaran a,b r = 5 Karena pusat lingkarannya a,b, maka kita gunakan aturan x-a2+y-b2=r2. x-a2+y-b2=r2 x-12+y-22=25 Selanjutnya, konversi bentuk standar ini ke dalam bentuk umumnya x2-2x+1+y2-4y+4=25 x2+y2-2x-4y-20=0 Sehingga, bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat 2,3 dan jari-jari 5 adalah x2+y2-2x-4y-20=0. Oke, menentukan persamaannya udah bisa nih. Sekarang gimana kalau soal yang muncul itu diketahui persamaan lingkarannya, sedangkan kita diminta untuk mencari titik pusat atau jari-jari lingkarannya. Nah, gimana solusinya? Penasaran? Elo bisa langsung meluncur ke contoh soal dan pembahasan dari Zenius di sini. ***** Gimana Sobat Zenius, sudah paham kan tentang rumus persamaan lingkaran kelas 11? Biar elo makin paham, elo bisa tonton video penjelasannya dengan klik banner di bawah ini ya! Khusus buat Sobat Zenius yang ingin mempertahankan nilai rapor, sekaligus nambah pemahaman materi belajar kelas 10, 11, 12 SMA, elo bisa berlangganan Zenius Aktiva. Di Zenius Aktiva, elo bakal diberi akses ke ribuan video belajar premium, ikutan try out dan latihan soal intensif biar makin jago jawab soal-soal ujian, sampai dibimbing langsung sama tutor di sesi live class, lho. Originally published December 29, 2021Updated by Arieni Mayesha & Rizaldi Abror
MateriSoal UTBK Matematika Saintek. Cakupan materi soal UTBK Matematika Saintek yang paling banyak muncul, antara lain Persamaan Kuadrat, Trigonometri, Fungsi, Turunan, Polinomial, dan Peluang. Sementara itu, materi mengenai Vektor, Limit, Logaritma, serta Barisan dan Deret juga terkadang muncul pada tes UTBK SBMPTN tahun-tahun sebelumnya.
Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran. Seperti biasa, sebelum kita masuk ke pokok persoalan kita akan melakukan review singkat tentang persamaan Persamaan LingkaranLingkaran adalah tempat kedudukan semua titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut pusat lingkaran dan jarak antara pusat lingkaran dengan semua titik yang berjarak sama disebut jari-jari lingkaran. Jika jarak tersebut dinyatakan secara matematis dalam bentuk persamaan, maka persamaan tersebut disebut persamaan Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran yang Berpusat di $O0,\ 0$ dan Berjari-jari $r$.$x^2 + y^2 = r^2$Persamaan Lingkaran yang Berpusat di $Pa,\ b$ dan Berjari-jari $r$.$x - a^2 + x - b^2 = r^2$Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ $\bullet$ $Pusat = -\dfrac12A,\ -\dfrac12B$ $\bullet$ $R^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$ $R → jari-jari$Kedudukan Titik Terhadap LingkaranKedudukan Titik Terhadap Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak di luar lingkaran, maka berlaku $x_1^2 + y_1^2 > r^2$ $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak pada lingkaran, maka berlaku $x_1^2 + y_1^2 = r^2$ $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak di dalam lingkaran, maka berlaku $x_1^2 + y_1^2 r^2$ $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak pada lingkaran, maka berlaku $x_1 - a^2 + y_1 - b^2 = r^2$ $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak di dalam lingkaran, maka berlaku $x_1 - a^2 + y_1 - b^2 0$. $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak pada lingkaran, maka berlaku $x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C = 0$. $\bullet$ Jika titik $Mx_1,\ y_1$ terletak di dalam lingkaran, maka berlaku $x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C 0$ maka garis memotong lingkaran pada dua titik yang berlainan. b. Jika $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran. c. Jika $D R + r$, maka lingkaran $L_1$ tidak bersinggungan dan tidak berpotongan dengan lingkaran $L_2$. 5. Jika $AB < R - r$, maka lingkaran $L_1$ dan $L_2$ tidak berpotongan dan salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran yang lain. 6. Jika $AB = 0$ maka lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah sepusat memiliki pusat yang sama. $\bullet$ Jarak antara titik $x_1,\ y_1$ dengan garis $Ax + By + C = 0$ $r = \dfrac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ $\bullet$ Jarak antara titik $x_1,\ y_1$ dan titik $x_2,\ y_2$ $r^2 = x_2 - x_1^2 + y_2 - y_1^2$Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran$1.$ Persamaan lingkaran dengan pusat $-1,\ 3$ dan menyinggung sumbu $y$ adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 - 2x + 6y + 9 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 + 2x - 6y - 9 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 11 = 0$ [Soal Ebtanas 1995 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Perhatikan gambar ! Panjang jari-jari lingkaran adalah $1$. Persamaan lingkaran dengan pusat $a,\ b$ dengan jari-jari $r$ $x - a^2 + y - b^2 = r^2$ $x - -1^2 + y - 3^2 = 1^2$ $x + 1^2 + y - 3^2 = 1^2$ $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = 1$ $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 = 0$ jawab D. $2.$ Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah adalah . . . . $A.\ \sqrt{3}$ $B.\ 3$ $C.\ \sqrt{13}$ $D.\ 3\sqrt{3}$ $E.\ \sqrt{37}$ [Soal Ebtanas 1996 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Misalkan persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ Substitusikan titik $A,\ B,\ dan\ C$ ke dalam persamaan lingkaran ! $5^2 + 0^2 + + + C = 0$ $5A + C = -25$ . . . . 1 $-1^2 + 0^2 - A + + C = 0$ $-A + C = -1$ . . . . 2 $0^2 + 5^2 + + + C = 0$ $5B + C = -25$ . . . . 3 Eliminasi persamaan 1 dan 2 ! $5A + C = -25$ $-A + C = -1$ - $-$ $6A = -24$ $A = -4$ $C = -5$ Dengan memasukkan nilai $C = -5$ ke pers 3, didapat nilai $B = -4$. Sehingga persamaan lingkaran menjadi $x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$ $\begin{align} R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\ &= \dfrac14-4^2 + \dfrac14-4^2 - -5\\ &= \ + \ + 5\\ &= 4 + 4 + 5\\ &= 13\\ R &= \sqrt{13}\\ \end{align}$ jawab C. $3.$ Persamaan garis singgung melalui titik $9,\ 0$ pada lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ adalah . . . . $A.\ 2x + y\sqrt{5} = 18$ dan $2x - y\sqrt{5} = 18$ $B.\ 2x + y\sqrt{5} = 18$ dan $-2x - y\sqrt{5} = 18$ $C.\ 2x + y\sqrt{5} = -18$ dan $-2x - y\sqrt{5} = -18$ $D.\ x\sqrt{5} + 2y = 18$ dan $x\sqrt{5} - 2y = 18$ $E.\ x\sqrt{5} + 2y = -18$ dan $x\sqrt{5} - 2y = -18$ [Soal Ebtanas 1997 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Titik $9,\ 0$ berada di luar lingkaran. Misalkan gradien garis singgung adalah $m$, sehingga persamaan garis singgung adalah $y - 0 = mx - 9$ $y = mx - 9m$ . . . . * Substitusi pers * ke dalam pers lingkaran ! $x^2 + mx - 9m^2 = 36$ $x^2 + m^2x^2 - 18m^2x + 81m^2 - 36 = 0$ $1 + m^2x^2 - 18m^2x + 81m^2 - 36 = 0$ $D = 0$ $b^2 - 4ac = 0$ $-18m^2^2 - 41 + m^281m^2 - 36 = 0$ $324m^4 - 324m^2 - 144 + 324m^4 - 144m^2 = 0$ $180m^2 - 144 = 0$ $5m^2 = 4$ $m = \pm \dfrac{2}{\sqrt{5}}$ Persamaan garis menjadi $y = \dfrac{2}{\sqrt{5}}x - 9.\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ $y\sqrt{5} = 2x - 18$ $2x - y\sqrt{5} = 18$ . . . . I. $y = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}x - 9.-\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ $y\sqrt{5} = -2x + 18$ $2x + y\sqrt{5} = 18$ . . . . II. jawab A. $4.$ Diketahui lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 2y + C = 0$ melalui titik $A5,\ -1$. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan . . . . $A.\ \sqrt{7}$ $B.\ 3$ $C.\ 4$ $D.\ 2\sqrt{6}$ $E.\ 9$ [Soal Ebtanas 1998 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Substitusikan titik $A5,\ -1$ ke dalam persamaan lingkaran ! $x^2 + y^2 - 4x + 2y + C = 0$ $5^2 + -1^2 - + 2.-1 + C = 0$ $25 + 1 - 20 - 2 + C = 0$ $C = -4$ Persamaan lingkaran menjadi $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ $\begin{align} R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\ &= \dfrac14.-4^2 + \ - -4\\ &= 4 + 1 + 4\\ &= 9\\ R &= 3\\ \end{align}$ jawab B. $5.$ Diketahui lingkaran $x^2 + y^2 + 8x + 2py + 9 = 0$ mempunyai jari-jari $4$ dan menyinggung sumbu $Y$. Pusat lingkaran tersebut sama dengan . . . . $A.\ 4,\ -6$ $B.\ -4,\ 6$ $C.\ -4,\ -6$ $D.\ -4,\ -3$ $E.\ 4,\ 3$ [Soal Ebtanas 1999 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$\begin{align} R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\ 4^2 &= \ + \dfrac14.2p^2 - 9\\ 16 &= 16 + p^2 - 9\\ p^2 &= 9\\ p &= 3\\ \end{align}$ Persamaan lingkaran menjadi $x^2 + y^2 + 8x + 6y + 9 = 0$ $\begin{align} Pusat &= \left-\dfrac12A,\ -\dfrac12B\right\\ &= \left-\ -\ &= \left-4,\ -3\right \end{align}$ jawab D. $6.$ Garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $-3,\ 4$ menyinggung lingkaran dengan pusat $10,\ 5$ dan jari-jari $r$. Nilai $r =$ . . . . $A.\ 3$ $B.\ 5$ $C.\ 7$ $D.\ 9$ $E.\ 11$ [Soal Ebtanas 2000 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Periksa apakah titik $-3,\ 4$ terletak pada lingkaran $-3^2 + 4^2 = 25$ $25 = 25$ Berarti titik $-3,\ 4$ terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik $x_1,\ y_1$ yang terletak pada lingkaran dengan pusat $O0,\ 0$ $x_1x + y_1y = r^2$ $-3x + 4y = 25$ $3x - 4y + 25 = 0$ Persamaan garis $3x - 4y + 25 = 0$ merupakan garis singgung pada lingkaran dengan pusat $10,\ 5$. Jari-jari adalah jarak antara pusat lingkaran dengan garis singgung. $\begin{align} r &= \dfrac{Ax + By + C }{\sqrt{A^2 + B^2}}\\ &= \dfrac{ - + 25}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ &= \dfrac{35}{5}\\ &= 7.\\ \end{align}$ jawab C. $7.$ Salah satu persamaan garis singgung dari titik $0,\ 0$ pada lingkaran $x - 3^2 + y - 4^2 - 5 = 0$ adalah . . . . $A.\ x - y = 0$ $B.\ 11x + y = 0$ $C.\ 2x + 11y = 0$ $D.\ 11x - y = 0$ $E.\ 11x - 2y = 0$ [Soal Ebtanas 2001 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Garis singgung lingkaran melalui titik $0,\ 0$, misalkan gradiennya adalah $m$, sehingga persamaan garis singgungnya adalah $y = mx$. Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran ! $x - 3^2 + y - 4^2 - 5 = 0$ $x - 3^2 + mx - 4^2 - 5 = 0$ $x^2 - 6x + 9 + m^2x^2 - 8mx + 16 - 5 = 0$ $1 + m^2x^2 - 8m + 6x + 20 = 0$ $D = 0$ $b^2 - 4ac = 0$ $-8m + 6^2 - 4.1 + m^2.20 = 0$ $64m^2 + 96m + 36 - 80 - 80m^2 = 0$ $-16m^2 + 96m - 44 = 0$ $16m^2 - 96m + 44 = 0$ $4m^2 - 24m + 11 = 0$ $2m - 112m - 1 = 0$ $m = \dfrac{11}{2}\ atau\ m = \dfrac12$ Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran adalah $y = mx$ $y = \dfrac{11}{2}x$ $2y = 11x$ $11x - 2y = 0$ . . . . I $y = \dfrac12x$ $2y = x$ $x - 2y = 0$ . . . . II jawab E. $8.$ Titik $a,\ b$ adalah pusat lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$. Jadi $2a + b =$ . . . . $A.\ 0$ $B.\ 2$ $C.\ 3$ $D.\ -1$ $E.\ -2$ [Soal Ebtanas 2002 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$\begin{align} Pusat &= \left-\dfrac12A,\ -\dfrac12B\right\\ &= \left-\dfrac12.-2,\ -\ &= \left1,\ -2\right\\ 2a + b &= + -2\\ &= 0\\ \end{align}$ jawab A. $9.$ Salah satu garis singgung yang bersudut $120^o$ terhadap sumbu $x$ positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik $7,\ 6$ dan $1,\ -2$ adalah . . . . $A.\ y = -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 12$ $B.\ y = -x\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 8$ $C.\ y = -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 4$ $D.\ y = -x\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 8$ $E.\ y = -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 22$ [Soal Ebtanas 2002 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Panjang diameter dan jari-jari lingkaran $\begin{align} d^2 &= 7 - 1^2 + 6 - -2^2\\ &= 6^2 + 8^2\\ &= 100\\ d &= 10\\ r &= 5\\ \end{align}$ Pusat lingkaran $\begin{align} Pusat &= \left\dfrac127 + 1,\ \dfrac126 - 2 \right\\ &= 4,\ 2\\ \end{align}$ Gradien garis singgung lingkaran $m = tan\ 60^o = -\sqrt{3}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a,\ b$ dan jari-jari $r$ dengan gradien garis singgung $m$ $\begin{align} y - b &= mx - a \pm r\sqrt{1 + m^2}\\ y - 2 &= -\sqrt{3}x - 4 \pm 5\sqrt{1 + \sqrt{3}^2}\\ y - 2 &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \pm 5\sqrt{4}\\ y - 2 &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \pm 10\\ y &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 12 . . . . I\\ y &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 8 . . . . II.\\ \end{align}$ jawab A. $10.$ Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ yang tegak lurus garis $5x - 12y + 15 = 0$ adalah . . . . $A.\ 12x + 5y - 41 = 0$ dan $12x + 5y + 37 = 0$ $B.\ 12x + 5y + 41 = 0$ dan $12x + 5y - 37 = 0$ $C.\ 5x + 12y + 41 = 0$ dan $5x + 12y + 37 = 0$ $D.\ 5x + 12y - 41 = 0$ dan $5x + 12y - 37 = 0$ $E.\ 12x - 5y - 41 = 0$ dan $12x - 5y + 37 = 0$ [Soal UAN 2004 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$5x - 12y + 15 = 0$ $m_1 = \dfrac{5}{12}$ Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah $m_2$ $ = -1$ $\dfrac{5}{12}.m_2 = -1$ $m_2 = -\dfrac{12}{5}$ Pusat lingkaran $Pusat = 1,\ -2$ Jari-jari lingkaran $\begin{align} R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\ &= \dfrac14.-2^2 + \ - -4\\ &= 1 + 4 + 4\\ &= 9\\ R &= 3\\ \end{align}$ Persamaan garis singgung lingkaran $y - b = mx - a \pm r\sqrt{1 + m^2}$ $y - -2 = -\dfrac{12}{5}x - 1 \pm 3\sqrt{1 + \left\dfrac{12}{5}\right^2}$ $y + 2 = -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{12}{5} \pm 3\sqrt{\dfrac{169}{25}}$ $y + 2 = -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{12}{5} \pm \dfrac{39}{5}$ $y + \dfrac{12}{5}x - \dfrac{2}{5} \pm \dfrac{39}{5} = 0$ $y + \dfrac{12}{5}x + \dfrac{37}{5} = 0$ $12x + 5y + 37 = 0$ . . . . I $y + \dfrac{12}{5}x - \dfrac{41}{5} = 0$ $12x + 5y - 41 = 0$ . . . . II jawab A. $11.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0$ pada titik $7,\ 2$ adalah . . . . $A.\ 2x - 7y = 0$ $B.\ 4x + 7y - 38 = 0$ $C.\ 7x + 2y - 35 = 0$ $D.\ 4x + 3y - 35 = 0$ $E.\ 4x + 3y - 34 = 0$ [Soal UN 2005 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0$ $7^2 + 2^2 - + - 15 = 0$ $49 + 4 - 42 + 4 - 15 = 0$ $0 = 0$ Berarti titik $7,\ 2$ terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $x_1,\ y_1$ yang terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ $x_1x + y_1y + \dfrac12Ax_1 + x + \dfrac12By_1 + y + C = 0$ $7x + 2y - \ + x + \ + y - 15 = 0$ $7x + 2y - 21 - 3x + 1 + y - 15 = 0$ $4x + 3y - 35 = 0$ jawab D. $12.$ Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $x - y - 2 = 0$ serta menyinggung sumbu $X$ positif dan sumbu $Y$ negatif adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 - x - y - 1 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y - 1 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 1 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$ [Soal UN 2006 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Perhatikan gambar ! $Pusat = 1,\ -1$ $r = 1$ Persamaan lingkaran dengan pusat $a,\ b$ dan jari-jari $r$ $x - a^2 + y - b^2 = r^2$ $x - 1^2 + y - -1^2 = 1^2$ $x - 1^2 + y + 1^2 = 1$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 1$ $x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$ jawab E. $13.$ Persamaan garis singgung melalui titik $A-2,\ -1$ pada lingkaran $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 13 = 0$ adalah . . . . $A.\ -2x - y - 5 = 0$ $B.\ x - y + 1 = 0$ $C.\ x + 2y + 4 = 0$ $D.\ 3x - 2y + 4 = 0$ $E.\ 2x - y + 3 = 0$ [Soal UN 2008 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$x^2 + y^2 + 12x - 6y + 13 = 0$ $-2^2 + -1^2 + 12.-2 - 6.-1 + 13 = 0$ $4 + 1 - 24 + 6 + 13 = 0$ $0 = 0$ Berarti titik $-2,\ -1$ terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung $x_1x + y_1y + \dfrac12Ax_1 + x + \dfrac12By_1 + y + C = 0$ $-2x + -1y + \ + x + \dfrac12.-6-1 + y + 13 = 0$ $-2x - y - 12 + 6x + 3 - 3y + 13 = 0$ $4x - 4y + 4 = 0$ $x - y + 1 = 0$ jawab B. $14.$ Lingkaran $x - 4^2 + y - 4^2 = 16$ memotong garis $y = 4$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah . . . . $A.\ y = 8 - x$ $B.\ y = 0$ dan $y = 8$ $C.\ x = 0$ dan $x = 8$ $D.\ y = x + 8$ dan $y = x - 8$ $E.\ y = x - 8$ dan $y = 8 - x$ [Soal UN 2009 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Titik potong garis dengan lingkaran $x - 4^2 + 4 - 4^2 = 16$ $x - 4^2 = 16$ $x - 4 = \pm 4$ $x = \pm 4 + 4$ $x = 0\ atau\ x = 8$ Titik potong/titik singgung lingaran $0,\ 4\ dan 8,\ 4$ Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $0,\ 4$ $x_1 - ax - a + y_1 - by - b = r^2$ $0 - 4x - 4 + 4 - 4y - 4 = 16$ $-4x + 16 = 16$ $x = 0$ Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $8,\ 4$ $8 - 4x - 4 + 4 - 4y - 4 = 16$ $4x - 16 = 16$ $4x = 32$ $x = 8$ jawab C. $15.$ Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x - 4^2 + y - 5^2 = 8$ yang sejajar dengan $y - 7x + 5 = 0$ adalah . . . . $A.\ y - 7x - 13 = 0$ $B.\ y + 7x + 3 = 0$ $C.\ -y - 7x + 3 = 0$ $D.\ -y + 7x + 3 = 0$ $E.\ y - 7x + 3 = 0$ [Soal UN 2010 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Karena garis singgung sejajar dengan garis $y - 7x + 5 = 0$, maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis $y - 7x + 5 = 0$. $m = 7$ $Pusat\ lingkaran = 4,\ 5$ $r = \sqrt{8}$ Persamaan garis singgung $y - b = mx - a \pm r\sqrt{1 + m^2}$ $y - 5 = 7x - 4 \pm \sqrt{8}\sqrt{1 + 7^2}$ $y - 5 = 7x - 4 \pm \sqrt{8}\sqrt{50}$ $y - 5 = 7x - 28 \pm 20$ $y - 7x + 23 \pm 20 = 0$ $y - 7x + 43 = 0$ . . . . I $y - 7x + 3 = 0$ . . . . II jawab E. $16.$ Lingkaran $L = x + 1^2 + y - 3^2 = 9$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah . . . . $A.\ x = 2\ dan\ x = -4$ $B.\ x = 2\ dan\ x = -2$ $C.\ x = -2\ dan\ x = 4$ $D.\ x = -2\ dan\ x = -4$ $E.\ x = 8\ dan\ x = -10$ [Soal UN 2012 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Pusat lingkaran $Pusat = -1,\ 3$ $r = 3$ Karena di atas sudah ada soal yang mirip yang dikerjakan dengan cara analitis, maka kita bisa selesaikan soal yang ini dengan cara membuat sketsa. Perhatikan gambar ! Persamaan garis singgungnya adalah $x = -4$ dan $x = 2$. jawab A. $17.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $1,\ 4$ dan menyinggung garis $3x - 4y + 3 = 0$ adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 + 2x + 8y - 13 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 21 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 + 2x + 8y - 21 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 - 2x + 8y - 13 = 0$ [Soal UN 2015 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$\begin{align} r &= \dfrac{ - + 3}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ &= \dfrac{-10}{5}\\ &= \dfrac{10}{2}\\ &= 2\\ \end{align}$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $a,\ b$ dan jari-jari $r$ $x - a^2 + y - b^2 = r^2$ $x - 1^2 + y - 4^2 = 2^2$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 4$ $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ jawab A. $18.$ Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 15 = 0$ yang sejajar garis $2x + y + 3 = 0$ adalah . . . . $A.\ 2x + y + 10 = 0$ $B.\ 2x + y + 6 = 0$ $C.\ 2x + y + 4 = 0$ $D.\ 2x + y - 6 = 0$ $E.\ 2x + y - 8 = 0$ [Soal UN 2016 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat = -1,\ 2$ $\begin{align} r^2 &= \ + \dfrac14.-4^2 - -15\\ &= 1 + 4 + 15\\ &= 20\\ r &= \sqrt{20}\\ \end{align}$ Garis singgung sejajar dengan garis $2x + y + 3 = 0$, berarti gradien garis singgung sama dengan gradien garis $2x + y + 3 = 0$. $m = -2$ Persamaan garis singgung lingkaran $y - 2 = -2x + 1 \pm \sqrt{20}\sqrt{1 + -2^2}$ $y - 2 = -2x - 2 \pm 10$ $y + 2x \pm 10 = 0$ $y + 2x + 10 = 0$ . . . . I $y + 2x - 10 = 0$ . . . . II jawab A. $19.$ Persamaan lingkaran dengan pusat di titik $2,\ -3$ dan menyinggung garis $x = 5$, adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$ [Soal UNBK 2017 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Jarak titik $2,\ -3$ dengan garis $x - 5 = 0$ $r = \dfrac{ - 5}{\sqrt{1^2}}$ $r = 3$ Persamaan lingkaran $x - 2^2 + y + 3^2 = 3^2$ $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 9$ $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ jawab C. $20.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $P3, -1$ dan melalui titik $A5,\ 2$ adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 + 6x - 2y - 55 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 + 6x - 2y - 31 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 21 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 23 = 0$ [Soal UNBK 2018 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Jarak antara dua titik $x_1,\ y_1$ dan $x_2,\ y_2$ $\begin{align} r^2 &= x_2 - x_1^2 + y_2 - y_1^2\\ &= 5 - 3^2 + 2 - -1^2\\ &= 2^2 + 3^2\\ &= 13\\ \end{align}$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $a,\ b$ dan jari-jari $r$ $x - a^2 + y - b^2 = r^2$ $x - 3^2 + y - -1^2 = 13$ $x - 3^2 + y + 1^2 = 13$ $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 13$ $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0$ jawab C. $21.$ Persamaan lingkaran dengan pusat $2,\ 3$ dan menyinggung garis $y = 2x$ adalah . . . . $A.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 12 = 0$ $B.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 49 = 0$ $C.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 54 = 0$ $D.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 60 = 0$ $E.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 64 = 0$ [Soal SNMPTN Matematika IPA 2011] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Jarak titik $2,\ 3$ dengan garis $2x - y = 0$ $\begin{align} r &= \dfrac{ - + -1^2}}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{5}}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{5}}\\ \end{align}$ Persamaan lingkaran $x - 2^2 + y - 3^2 = \left\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right^2$ $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = \dfrac15$ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = \dfrac15$ $5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 65 = 1$ $5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 64 = 0$ jawab E. $22.$ Lingkaran $x - 3^2 + y - 4^2 = 25$ memotong sumbu-x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka $cos\ \angle APB =$ . . . . $A.\ \dfrac{7}{25}$ $B.\ \dfrac{8}{25}$ $C.\ \dfrac{12}{25}$ $D.\ \dfrac{16}{25}$ $E.\ \dfrac{18}{25}$ [Soal SNMPTN 2012 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat = 3,\ 4$ $R = 5$ Perhatikan gambar ! $sin\ APC = \dfrac35$ $cos\ APC = \dfrac45$ $cos\ APB = cos\ APC + APC$ $= cos^2\ APC - sin^2\ APC$ $= \left\dfrac45\right^2 - \left\dfrac35\right^2$ $= \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25}$ $= \dfrac{7}{25}$ jawab A. $23.$ Lingkaran $x + 6^2 + y + 1^2 = 25$ menyinggung garis $y = 4$ di titik . . . . $A.\ -6,\ 4$ $B.\ 6,\ 4$ $C.\ -1,\ 4$ $D.\ 1,\ 4$ $E.\ 5,\ 4$ [Soal SNMPTN Matematika IPA 2012] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Substitusikan $y = 4$ ke dalam persamaan lingkaran ! $x + 6^2 + y + 1^2 = 25$ $x + 6^2 + 4 + 1^2 = 25$ $x + 6^2 = 0$ $x + 6 = 0$ $x = -6$ $Titik\ singgung\ = -6,\ 4$ jawab A. $24.$ Persamaan lingkaran dengan pusat $-1,\ 1$ dan menyinggung garis $3x - 4y + 12 = 0$ adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y - 7 = 0$ $C.\ 4x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 17 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$ $E.\ 4x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 1 = 0$ [Soal SBMPTN Matematika IPA 2013] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Jarak antara titik $-1,\ 1$ dengan garis $3x - 4y + 12 = 0$ $\begin{align} r &= \dfrac{3.-1 - + 12}{\sqrt{3^2 + -4^2}}\\ &= \dfrac{5}{\sqrt{25}}\\ &= \dfrac55\\ &= 1\\ \end{align}$ Persamaan lingkaran $x + 1^2 + y - 1^2 = 1^2$ $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 1$ $x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$ jawab A. $25.$ Jika lingkaran $x^2 + y^2 - 2ax + b = 0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x - y = 0$, maka nilai $a^2 + b$ adalah . . . . $A.\ 12$ $B.\ 8$ $C.\ 4$ $D.\ 2$ $E.\ 0$ [Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat\ lingkaran = a,\ 0$ Jarak titik $a,\ 0$ dengan garis $x - y = 0$ $r = \dfrac{a - 0}{\sqrt{1^2 + -1^2}}$ $2 = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$ $a = 2\sqrt{2}$ $a = \pm 2\sqrt{2}$ Persamaan lingkaran menjadi $x^2 + y^2 \pm 4\sqrt{2}x + b = 0$ $r^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$ $2^2 = \dfrac14.\pm 4\sqrt{2}^2 - b$ $4 = 8 - b$ $b = 4$ $\begin{align} a^2 + b &= 2\sqrt{2}^2 - 4\\ &= 8 - 4\\ &= 4\\ \end{align}$ jawab C. $26.$ Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,\ 1$. Jika luas segiempat yang melalui $A,\ B,\ C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k =$ . . . . $A.\ -1$ $B.\ 0$ $C.\ 1$ $D.\ 2$ $E.\ 3$ [Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat\ lingkaran = 3, 1$ Perhatikan gambar ! $AP = r$ $PC = 5$ $AC = \sqrt{25 - r^2}$ $\begin{align} Luas\ ACBP &= 2.\ 12 &= r.\sqrt{25 - r^2}\\ 144 &= r^225 - r^2\\ 144 &= 25r^2 - r^4\\ \end{align}$ $r^4 - 25r^2 + 144 = 0$ $r^2 - 9r^2 - 16 = 0$ $r^2 = 9\ atau\ r^2 = 16$ $r^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$ $9 = \dfrac14.-6^2 + \dfrac14.-2^2 - k$ $9 = 9 + 1 - k$ $k = 1$ . . . . I $r^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$ $16 = \dfrac14.-6^2 + \dfrac14.-2^2 - k$ $16 = 9 + 1 - k$ $k = -6$ . . . . II jawab A. $27.$ Syarat agar garis $ax + y = 0$ menyinggung lingkaran dengan pusat $-1,\ 3$ dan jari-jari $1$ adalah $a =$ . . . . $A.\ \dfrac32$ $B.\ \dfrac43$ $C.\ \dfrac34$ $D.\ \dfrac23$ $E.\ \dfrac14$ [Soal UM UGM Matematika IPA 2010] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$r = \dfrac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ $1 = \dfrac{a.-1 + + 0}{\sqrt{a^2 + 1^2}}$ $1 = \dfrac{3 - a}{\sqrt{a^2 + 1}}$ $3 - a = \sqrt{a^2 + 1}$ $3 - a^2 = a^2 + 1$ $a^2 - 6a + 9 = a^2 + 1$ $6a = 8$ $a = \dfrac43$ jawab B. $28.$ Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis $y = 2$ di $3,\ 2$ dan menyinggung garis $y = -x\sqrt{3} + 2$ adalah . . . . $A.\ 3,\ \sqrt{3}$ $B.\ 3,\ 3\sqrt{3}$ $C.\ 3,\ 2 + \sqrt{3}$ $D.\ 3,\ 2 + 2\sqrt{3}$ $E.\ 3,\ 2 + 3\sqrt{3}$ [Soal UM UGM Matematika IPA 2013] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Perhatikan gambar ! $AP = r = 2 - b$ . . . . 1 Jarak titik $P$ dengan garis $x\sqrt{3} + y - 2 = 0$ $BP = r = \dfrac{3\sqrt{3} + b - 2}{\sqrt{\sqrt{3}^2 + 1^2}}$ $= \dfrac{3\sqrt{3} + b - 2}{2}$ . . . . 2 Dari persamaan 1 dan pers 2 $2 - b = \dfrac{3\sqrt{3} + b - 2}{2}$ $4 - 2b = 3\sqrt{3} + b - 2$ $4 - 2b = 3\sqrt{3} + b - 2$ $3b = 6 - 3\sqrt{3}$ $b = 2 - \sqrt{3}$ . . . . 1 $-4 - 2b = 3\sqrt{3} + b - 2$ $-4 + 2b = 3\sqrt{3} + b - 2$ $b = 2 + 3\sqrt{3}$ . . . . 2 jawab E. $29.$ Jika garis $y = mx + k$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 - 10x + 6y + 24 = 0$ di titik $8,\ -4$, maka nilai $m + k$ adalah . . . . $A.\ -26$ $B.\ -25$ $C.\ -24$ $D.\ -23$ $E.\ -22$ [Soal UM UGM Matematika IPA 2014] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat\ lingkaran = 5,\ -3$ Gradien garis yang melalui titik $5,\ -3$ dan $8,\ -4$ $m_1 = \dfrac{-4 - -3}{8 - 5} = -\dfrac{1}{3}$ Misalkan gradien garis singgung adalah $m_2$. Karena garis singgung selalu tegak lurus dengan garis yang ditarik dari titik pusat ke titik singgung, maka $ = -1$ $-\ = -1$ $m_2 = 3$ Persamaan garis singgung $y - -4 = 3x - 8$ $y + 4 = 3x - 24$ $y = 3x - 28$ $m = 3$ $k = -28$ $m + k = 3 + -28 = -25$ jawab B. $30.$ Diketahui titik $1,\ p$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 - 2y = 0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $1,\ p$ dan menyinggung garis $px + y = 4$ adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 1 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ $D.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 1 = 0$ [Soal UM UGM 2016 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Karena titik $1,\ p$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 - 2y = 0$, maka $1^2 + p^2 - 2p = 0$ $p^2 - 2p + 1 = 0$ $p - 1^2 = 0$ $p - 1 = 0$ $p = 1$ Persamaan lingkaran dengan pusat $1,\ 1$ dan menyinggung garis $x + y - 4 = 0$ $\begin{align} r &= \dfrac{1 + 1 - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\ &= \dfrac{-2}{\sqrt{2}}\\ &= \dfrac{2}{\sqrt{2}}\\ \end{align}$ Persamaan lingkaran $x - 1^2 + y - 1^2 = \left\dfrac{2}{\sqrt{2}}\right^2$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$ $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ jawab C. $31.$ Titik pusat lingkaran L terletak di kuadran I dan terletak pada garis $y = 2x + 1$. Jika lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik $0,\ 11$, maka persamaan lingkaran L adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 - 5x - 11y = 0$ $B.\ x^2 + y^2 + 5x + 11y - 242 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 - 5x + 11y = 0$ $E.\ x^2 + y^2 + 10x + 22y - 363 = 0$ [Soal UM UGM Matematika IPA 2017] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Karena lingkaraan L menyinggung sumbu Y di titik $0,\ 11$, berarti titik pusat lingkaran terletak pada garis $y = 11$. Karena titik pusat lingkaran terletak pada garis $y = 2x + 1$, maka $11 = 2x + 1$ $2x = 10$ $x = 5$ Dengan demikian, titik pusat lingkaran adalah $5,\ 11$ dan jari-jari lingkaran adalah $5$. Persamaan lingkaran $x - 5^2 + y - 11^2 = 5^2$ $x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121 = 25$ $x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0$ jawab C. $32.$ Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-X di $1,\ 0$ dan $3,\ 0$. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-Y, maka titik singgung yang mungkin adalah . . . . $A.\ 0,\ 1$ $B.\ 0,\ 2$ $C.\ 0,\ \sqrt{3}$ $D.\ 0,\ \sqrt{5}$ $E.\ 0,\ 3$ [Soal UM UGM Matematika IPA 2018] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Karena lingkaran memotong sumbu-X di titik $1,\ 0$ dan $3,\ 0$, berarti pusat lingkaran terletak pada garis $x = 2$. Jika lingkaran menyinggung sumbu-Y, maka panjang jari-jari adalah $2$. Lingkaran menyinggung sumbu-Y di titik $0,\ \sqrt{3}$ jawab C. $33.$ Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $L_1\ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ dan $L_2\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$ serta berpusat di garis $g\ x - 2y = 5$ adalah . . . . $A.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0$ $B.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0$ $C.\ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0$ $D.\ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0$ $E.\ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$ [Soal UM UGM Matematika IPA 2017] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat\ L_1 = 1,\ 1$ $Pusat\ L_2 = -1,\ 3$ Karena lingkaran ketiga $L_3$ melalui titik potong lingkaran $L_1$ dan lingkaran $L_2$, berarti ketiga lingkaran memiliki tali busur persekutuan yang sama dan pusat lingkaran $L_1,\ L_2,\ dan\ L_3$ terletak pada satu garis lurus. Persamaan garis yang melalui pusat lingkaran $L_1\ dan\ L_2$. $\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ $\dfrac{y - 1}{3 - 1} = \dfrac{x - 1}{-1 - 1}$ $\dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{x - 1}{-2}$ $y - 1 = -x + 1$ $x + y = 2$ Karena pusat lingkaran $L_3$ terletak pada garis $x - 2y = 5$, berarti pusat lingkaran $L_3$ terletak pada titik potong garis $x + y = 2$ dan $x - 2y = 5$. Eliminasi kedua persamaan garis ! $x + y = 2$ $x - 2y = 5$ - $-$ $3y = -3$ $y = -1$ $x = 3$ $Pusat\ L_3 = 3,\ -1$ Eliminasi persamaan lingkaran $L_1\ dan\ L_2$ untuk mendapatkan persamaan tali busur lingkaran. $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$ - $-$ $4x - 4y + 8 = 0$ $x - y + 2 = 0$ $y = x + 2$ Substitusi persamaan garis $y = x + 2$ ke dalam salah satu persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik potong lingkaran $L_1,\ L_2,\ dan\ L_3$. $x^2 + x + 2^2 - 2x - 2x + 2 - 2 = 0$ $x^2 + x^2 + 4x + 4 - 2x - 2x - 4 - 2 = 0$ $2x^2 - 2 = 0$ $x^2 - 1 = 0$ $x = -1\ atau\ x = 1$ $y = 1\ atau\ y = 3$ Titik potong $L_1,\ L_2,\ dan\ L_3$ $-1,\ 1\ dan\ 1,\ 3$ Jar-jari lingkaran $L_3$ adalah jarak antara titik pusat lingkaran $L_3$ dengan salah satu titik potong ketiga lingkaran. Jarak antara titik $3,\ -1\ dengan\ 1,\ 3$. $r^2 = x_2 - x_1^2 + y_2 - y_1^2$ $= 3 - 1^2 + -1 - 3^2$ $= 2^2 + -4^2$ $= 20$ Persamaan lingkaran $L_3$ $x - 3^2 + y - -1^2 = 20$ $x - 3^2 + y + 1^2 = 20$ $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 20$ $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0$ jawab B. $34.$ Persamaan garis $l$ yang menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 = 8$ pada titik $x = 2$ dan memiliki gradien positif adalah . . . . $A.\ y = x - 4$ $B.\ y = x + 4$ $C.\ y = 2x + 4$ $D.\ y = x - 8$ $E.\ y = x + 8$ [Soal SIMAK UI Matematika Dasar 2010] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$r^2 = 8$ Substitusikan titik $x = 2$ ke dalam persamaan lingkaran. $2^2 + y^2 = 8$ $4 + y^2 = 8$ $y^2 = 4$ $y_1 = -2$ $y_2 = 2$ Titik singgung lingkaran $2,\ -2\ dan\ 2,\ 2$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $2,\ -2$ $x_1x + y_y = r^2$ $2x + -2y = 8$ $2x - 2y = 8$ $y = x - 4 → m = 1$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $2,\ 2$ $2x + 2y = 8$ $x + y = 4$ $y = -x + 4 → m = -1$ jawab A. $35.$ Jika lingkaran $x^2 + y^2 - 2ax + b = 0$ berjari-jari $2$ menyinggung garis $x - y = 0$, maka jumlah kuadrat semua nilai $a$ yang mungkin adalah . . . . $A.\ 2$ $B.\ 8$ $C.\ 12$ $D.\ 16$ $E.\ 18$ [Soal SIMAK UI Matematika IPA 2017] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Pusat\ lingkaran = a,\ 0$ jarak titik $a,\ 0$ dengan garis $x - y = 0$ $\begin{align} r &= \dfrac{ - + -1^2}}\\ 2 &= \dfrac{a}{\sqrt{2}}\\ a &= 2\sqrt{2}\\ a &= 2\sqrt{2}\ atau\ a = -2\sqrt{2}\\ \end{align}$ $2\sqrt{2}^2 + -2\sqrt{2}^2 = + = 16$ jawab D. $36.$ Nilai $p$ yang memenuhi agar lingkaran $x^2 + y^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$ bersinggungan dengan garis $y = x$ adalah . . . . $A.\ -2\ atau\ 2$ $B.\ -3\ atau\ 3$ $C.\ -\sqrt{2}\ atau\ \sqrt{2}$ $D.\ -2\sqrt{2}\ atau\ 2\sqrt{2}$ $E.\ -4\ atau\ 4$ [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Substitusikan persamaan garis $y = x$ ke dalam persamaan lingkaran $x^2 + x^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$ $2x^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$ $D = 0$ $-2p^2 - - 4 = 0$ $4p^2 - 8p^2 + 32 = 0$ $4p^2 = 32$ $p^2 = 8$ $p = \pm \sqrt{8}$ $p = \pm 2\sqrt{2}$ jawab D. $37.$ Lingkaran yang menyinggung garis $x + y = 3$ di titik $1,\ 2$ dan melalui titik $3,\ 6$ mempunyai jari-jari . . . . $A.\ 5\sqrt{3}$ $B.\ 5\sqrt{2}$ $C.\ \dfrac53\sqrt{6}$ $D.\ \dfrac53\sqrt{3}$ $E.\ \dfrac53\sqrt{2}$ [Soal Sipenmaru 1999 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Karena lingkaran menyinggung garis $x + y = 3$ di titik $1,\ 2$, berarti diameter lingkaran melalui titik $1,\ 2$ dan tegak lurus garis $x + y = 3$. Persamaan garis diameter lingkaran $y - 2 = -1x - 1$ $y - 2 = -x + 1$ $y = - x + 3$ Misalkan koordinat pusat lingkaran adalah $a,\ b$, maka $b = -a + 3$ . . . . * Jari-jari adalah jarak antara titik $a,\ b$ dengan titik $1,\ 2$ dan sama dengan jarak antara titik $a,\ b$ dengan titik $3,\ 6$. $a - 1^2 + b - 2^2 = a - 3^2 + b - 6^2$ $a^2 - 2a + 1 + b^2 - 4b + 4 = a^2 - 6a + 9 + b^2 - 12b + 36$ $4a + 8b = 40$ $a + 2b = 10$ . . . . ** Dari persamaan * dan ** $a + 2-a + 3 = 10$ $a = -4$ $b = 7$ $\begin{align} r^2 &= -4 - 1^2 + 7 - 2^2\\ &= 25 + 25\\ &= 50\\ r &= 5\sqrt{2}\\ \end{align}$ jawab B. $38.$ Diketahui lingkaran $L_1 \equiv x^2 + y^2 - 10x + 2y + 17 = 0$ dan lingkaran $L_2 \equiv x^2 + y^2 + 8x - 22y - 7 = 0$. Hubungan antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah . . . . A. tidak berpotongan B. bersinggungan dalam C. bersinggungan luar D. berpotongan di dua titik E. mempunyai jari-jari yang sama [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$Lingkaran L_1$ $Pusat = 5,\ -1$ $\begin{align} r_1^2 &= \dfrac14.-10^2 + \ &= 26\\ r_1 &= \sqrt{26}\\ \end{align}$ $Lingkaran L_2$ $Pusat = -4,\ 11$ $\begin{align} r_2^2 &= \ + \dfrac14.-22^2\\ &= 16 + 121\\ r_2 &= \sqrt{137}\\ \end{align}$ Jarak antara pusat lingkaran $L_1$ dengan lingkaran $L_2$ $\begin{align} L_1L_2 &= \sqrt{5 + 4^2 + -1 - 11^2}\\ &= \sqrt{9^2 + -12^2}\\ &= \sqrt{81 + 144}\\ &= \sqrt{225}\\ &= 15\\ \end{align}$ $L_1L_2 < r_1 + r_2$, dengan demikian lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik yang berbeda. jawab D. $39.$ Jarak terdekat antara titik $-7,\ 2$ ke lingkaran $x^2 + y^2 - 10x - 14y - 151 = 0$ adalah . . . . $A.\ 2$ $B.\ 3$ $C.\ 4$ $D.\ 8$ $E.\ 13$ [Soal proyek perintis 1981 Matematika IPA] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]$x^2 + y^2 - 10x - 14y - 151 = 0$ $Pusat = 5,\ 7$ $\begin{align} R^2 &= \dfrac14.-10^2 + \dfrac14.-14^2 - 151\\ &= 25 + 49 + 151\\ &= 225\\ R &= \sqrt{225}\\ &= 15\\ \end{align}$ Jarak antara titik $-7,\ 2$ dengan pusat lingkaran $5,\ 7$. $\begin{align} d &= \sqrt{-7 - 5^2 + 2 - 7^2}\\ &= \sqrt{-12^2 + -5^2}\\ &= \sqrt{169}\\ &= 13\\ \end{align}$ $\begin{align} Jarak\ terdekat &= R - d\\ &= 15 - 13\\ &= 2\\ \end{align}$ jawab A. $40.$ Diketahui persamaan lingkaran $C_1$ dan $C_2$ berturut-turut adalah $x^2 + y^2 = 25$ dan $x - a^2 + y^2 = r^2$. Lingkaran $C_1$ dan $C_2$ bersinggungan di titik $5,\ 0$. Jika garis $l$ adalah garis singgung lingkaran $C_1$ di titik $3,\ -4$ yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran $C_2$ di titik $m,\ n$, nilai $m + n = $ . . . . $A.\ 5$ $B.\ 6$ $C.\ 7$ $D.\ 8$ $E.\ 9$ [Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019] [Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]Lingkaran $C_1$ pusat $0,\ 0$ dan jari-jari $5$. Lingkaran $C_2$ pusat $a,\ 0$ dan jari-jari $r$. Persamaan garis singgung yang melalui titik $3,\ -4$ pada lingkaran $C_1$ $x_1x + y_1y = R^2$ $3x - 4y = 25$ Persamaan garis singgung melalui titik $m,\ n$ yang terletak pada lingkaran $C_2$, dengan demikian $3m - 4n = 25$ Dengan melihat gambar dan opsi yang ada, kita bisa kira-kira bahwa $m = 7$ dan $n = -1$. $m + n = 7 + -1 = 6$ jawab B. Demikianlah soal dan pembahasan persamaan lingkaran, semoga bermanfaat. Selamat belajar ! Disusun oleh Joslin Sibarani Alumni Teknik Sipil ITBSHARE THIS POST WahUTBK semakin dekat nih! Sudah sejauh mana nih persiapan kamu sampai hari ini? Bukan hanya membaca materi saja tapi berlatih dengan latihan soal yang cukup pun dibutuhkan untuk menghadapi segala macam bentuk soal. Nah, kali ini, kami dari tim osis sudah mengakurasi berbagai macam sumber yang mungkin berguna buat kakak-kakak, yuk cekidot. 💡 💯+ []Masih belum yakin mengerjakan soal UTBK Matematika? Nggak masalah, kamu hanya perlu berlatih lebih giat. Latihan lagi yuk, simak soal Matematika beserta pembahasannya di bawah ini! — 1 Topik Aljabar Saintek Subtopik Barisan dan Deret Misal adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda 2a. Jika maka nilai dari adalah.. 216 864 900 Jawaban C Pembahasan Dari soal, diketahui Akan dicari nilai dari Dapat diperhatikan perhitungan berikut ini. Diperoleh a=3 sehingga b=2a=6. Oleh karena itu, kita dapat menghitung nilai sebagai berikut. Dapat diperhatikan bahwa 1+3+5++23 adalah deret aritmetika dengan suku pertama 1, beda 3, dan banyaknya suku adalah 12. Akibatnya, Oleh karena itu, didapat nilai sebagai berikut. Dengan demikian, nilai dari adalah 900. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 2 Topik Aljabar Saintek Subtopik Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Diketahui sistem persamaan berikut ini. Jawaban E Pembahasan Dapat diperhatikan bahwa sistem persamaan pada soal dapat dituliskan menjadi dua persamaan sebagai berikut. Kemudian, eliminasi sin sin x sin sin y sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah E. Baca juga Latihan Soal dan Pembahasan UTBK 2022 TPS Penalaran Umum 3Topik Trigonometri Saintek Subtopik Pertidaksamaan Trigonometri Untuk penyelesaian dari pertidaksamaan Jawaban A Pembahasan Perhatikan bahwa sehingga, x berada di kuadran I atau II. Akibatnya, sin x akan bernilai bernilai positif. Kemudian, perhatikan bahwa pasti tidak bernilai negatif, maka kedua ruas pada pertidaksamaan dapat dikuadratkan tanpa mengubah tanda pertidaksamaannya, menjadi Perhatikan garis bilangan berikut! Karena tanda pertidaksamaannya adalah angka satuan dengan selisih angka satuan oleh angka ribuan adalah 5. Maka, didapat beberapa kemungkinan sebagai berikut. Sehingga, ada 5 kemungkinan. Secara total terdapat 9 kemungkinan untuk angka ribuan dan angka satuan. Karena tidak boleh ada angka yang berulang, maka banyaknya angka yang mungkin untuk angka ratusan adalah 8 buah didapat dari total angka 10 buah, namun dikurang 1 angka yang telah dipakai untuk angka ribuan, dan dikurang 1 lagi yang telah dipakai untuk angka satuan. Kemudian, dengan cara yang serupa, didapat untuk angka puluhan tersisa 7 buah angka. Sehingga, secara total, terdapat 9×8×7=504 kemungkinan. Jadi, jawaban yang tepat adalah A Topik Aljabar Saintek Subtopik Vektor 7. Diketahui titik A-x, -11, B7, x+1, dan C-1, 2x-3 dengan x adalah bilangan bulat. Jika maka nilai dari adalah.. 124 128 129 256 258 Jawaban B Pembahasan Perhatikan bahwa titik dapat dinyatakan dalam vektor posisi terhadap titik O dengan notasi masing-masing adalah sebagai berikut Dengan demikian, vektor dapat dicari sebagai berikut Kemudian, vektor dapat dicari dengan cara sebagai berikut Akibatnya, didapat hasil perhitungan sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah B. Topik Aljabar Saintek Subtopik Persamaan Lingkaran 8. Lingkaran L yang memiliki titik pusat di kuadran I, menyinggung sumbu-x dan menyinggung lingkaran . Jika lingkaran L melalui titik 4, 6, maka persamaan dari lingkaran L yang tepat adalah …. Jawaban C Pembahasan Dapat diperhatikan bahwa lingkaran memiliki pusat di titik 0, 0 dan jari-jari dengan panjang 2 satuan. Diketahui lingkaran L memiliki titik pusat di kuadran I. Misal lingkaran L yang bersinggungan dengan sumbu- memiliki pusat pada titik a, b maka didapat gambar sebagai berikut. Catatan Gambar di atas adalah ilustrasi apabila a>b. Karena titik pusat lingkaran L berada di kuadran I, maka a>0 dan b>0. Dapat diperhatikan bahwa panjang jari-jari lingkaran L adalah b satuan. Berdasarkan gambar di atas, dapat diterapkan Teorema Pythagoras sebagai berikut. Karena lingkaran L berpusat pada titik a, b dan panjang jari-jari lingkaran L adalah b satuan, maka persamaan lingkaran L dapat ditulis sebagai berikut. Karena lingkaran L melalui titik 4, 6 maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena a>0, maka a=4. Oleh karena itu, didapat perhitungan sebagai berikut. Oleh karena itu, didapat persamaan lingkaran L adalah sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. Topik Kalkulus Saintek Subtopik Limit 9. Diberikan fungsi dan yang kontinu untuk seluruh bilangan real. Jika maka nilai dari adalah.. 26 27 63 64 65 Jawaban C Pembahasan Perhatikan bahwa Kemudian, perhatikan perhitungan berikut! Oleh karena itu, didapat perhitungan sebagai berikut. Dengan demikian, didapat hasil perhitungan sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. Baca juga Latihan Soal dan Pembahasan UTBK 2021 Fisika Topik Geometri Saintek Subtopik Transformasi Geometri 10. Untuk , hasil dari adalah… Jawaban D Pembahasan Misal Dapat diperhatikan bahwa fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Oleh karena itu, didapat Dengan demikian, didapat hasil integralnya adalah sebagai berikut Jadi, jawaban yang tepat adalah D. Akhirnya selesai juga~ Kamu capek gak? Istirahat sebentar gak dilarang kok. Selain materi TKA dan TPS, kesehatan juga perlu diperhatikan untuk menghadapi UTBK 2021. Kalau pengen curhat persiapan kuliah, langsung aja ngobrol bareng kakak konselor di ruangles. Semoga membantu!
iQx2p. soal sbmptn tentang persamaan lingkaran
